O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI XALQ TALIMI VAZIRLIGI
FARG`ONA VILOYAT HOKIMLIGI
XALQ TA’LIMI BOSHQARMASI
FARG`ONA VILOYAT PEDAGOG KADRLARNI QAYTA TAYYORLASH VA MALAKASINI OSHIRISH INSTITUTI MATEMATIKA kurs tinglovchisi
Yozyovon tumani 32-umumta’lim maktabi
MATEMATIKA fani o`qituvchisi
Abdurazzoqov Abdumuxtorning
MALAKAVIY ISHI
Mavzu: “Kvadrat tenglamalar va ularning echish
usullari”.
Farg’ona 2013 yil.
2
Mavzu: “Kvadrat tenglamalar ularning yechilish usullari”.
Reja:
I. Kirish.
1.Mustaqillik davrida mamlakatimizda ta‘lim sohasidagi islohatlar.
2. Kvadrat tenglamalar va bikvadrat tenglamar haqida tushuncha.
3. Kvadrat tenglama ildizlari va ularni topish formulalari.
II. Asosiy qism.
Kvadrat tenglama, bikvadrat tenglamarni yechushni bir necha usullari.
III. Xulosa.
Kirish
Mamlakatimiz 1991 yil mustaqillikka erishgandan boshlab ta’limning rivojlantirish maslasining eng asosiy masala sifatida qaraldi. Buning natijasida 1992 yil “Ta’lim to‘g‘risidagi” qonun qabul qilindi.
Bu qonunga asosan O‘zbekistonda ta’limning yo‘lga qo‘yishdagi dastlabki qadam qo‘yildi. 1991 yil avgustda O‘zbekistonda “Ta’lim to‘g‘risidagi” qonun va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturlari” qabul qilindi.
Respublikamizda Xalq ta‘limini rivojlantirishni va qayta isloh qilish sohasida bir qator qonun qaror va farmonlar qabul qilindiki, bu hujjatlar xalq ta’limining rivojlantirishning bosh vazifalari, yo’nalishlari va bosqichlari ko’rsatib berildi. Ana shunday vazifalardan biri ta’lim tizimida o’quv qo’llanmalari va o’quv dasturlaridir. Ularni takomillashtirish, hozir maktablarning V-IX sinf darsliklarida takomillashtirilgan, qayta ko’rib chiqilgan darsliklardir. O’rta maktablarning “VIII sinf algebra” kursi (mualliflari Sh. Alimov, O. Xolmuhammedov, M. Mirzarahimov). Mamlakatimiz Prezidenti I. A. Karimov o’qituvchilarni obro’sini ko’tarish maqsadida 1-oktabrni “Ustoz va murabbiylar kuni” bayrami deb e’lon qildi. Bu bayram umumxalq bayramiga aylandi va dam olish kuni sifatida qabul qilindi.
Prezidentimiz qaroriga asosan 2004-2009 yillarda mamlakatimizda umumta’lim maktablarini capital va joriy remont qilish ishlari boshlab yuborildi va ko’plab maktablar remontdan chiqarildi va ko’plab yangi maktablar qurildi. Hozirgi kunda maktablarda o’quvchilarni bilim olishlari uchun yaxshi sharoitlar yaratib berildi. Mustaqillikka erishishimiz bilan buyuk allomalarimiz va ularni meroslarini o’rganishga e’tibor berila boshladi. Buning natijasida Muhammad al Xorazmiy, Abu Nasr Farobiy, Abu Rayxon Beruniy, Abu Ali ibn Sino, Umar Xayyom, Mirzo Ulug’bek singari buyuk allomalarimizning hayotlari keng o’rganilmoqda. Ular uchun yodgorliklar o’rnatildi va nomlari abadiylashtirildi.
O’rta maktablarda “VIII sinf algebra” kursida (mualliflari Sh. Alimov, O. Xolmuhammedov, M. Mirzarahimov) kvadrat tenglamalar bobi uchun o’quv reja bo’yicha … soat ajratilgan. Kvadrat tenglamalar va ularning ildizlari haqida tushuncha berishda turli manbalardan adabiyotlardan foydalanib o’quvchilarga tushuntirilsa maqsadga muvofiq bo’ladi.
1-masala.
To’g’ri to’rtburchakning asosi balandligidan 10 sm ortiq uning yuzi esa 24 sm2 ga teng. To’g’ri to’rtburchakning balandligini toping.
Yechish: To’rtburchakning balandligi x
Uning asosi x+10
3
Masalani shartiga ko’ra uning yuzi x(x+10)=24
Qavslarni ochib x2+10x-24=0 ni xosil qilamiz.
x2+10x-24=x2+12x-2x-24=0
x(x+12)-2(x+12)=(x-2)(x+12)=0
(x-2)(x+12)=0; x-2=0; x+12=0
x1=-12; x2=2
Javob: To’g’ri to’rtburchakning balandligi 2 sm gat eng, x=-12 soni masalani yechimi bo’la olmaydi. Chunki kesmaning uzunligi manfiy son bo’la olmaydi.
Bu masalani yechishda kvadrat tenglama deb ataluvchi x2+10x-24=0 tenglama hosil qilindi.
Shunday qilib:
ax2+bx+c=0 ko’rinishdagi tenglamalar kvadrat tenglamalar deb atalishini o’quvchilarga tushuntiriladi va misolllar bilan mustahkamlanadi.
3x2-4x-8=0
2 x2-3=0
x2+5x=0
12 x2=0
ax2+bx+c=0 kvadrat tenglamada: a – birinchi koeffitsiyent, b – ikkinchi koeffitsiyent, c – ozod had.
Mashxur shoir va matematik Umar Xayyom (1048 – 1123) asarlarida ham kvadrat tenglamalar uchraydi. Al Xorazmiy (783 – 850) ning “Al jabr val-muqobala” kitobida kvadrat tenglamaning ba’zi yechimlarini keltirib o’tgan (Qodirov O’ tavsiyalari).
Masala. Noma’lum sonning ikkinchi darajasi va noma’lu m sondan 8 tasining yig’indisi 9 ga teng. Shu sonni toping.
Masalaning algebraik ifodasi x2+8x=9 bo’ladi.
Bu tenglamani Al Xorazmiy o’z asarida quyidagicha bayon etgan va yechimini topgan:
1) Noma’lum sondan nechta bo’lsa shuning yarmini olamiz: 8:2=4;
2) Bo’linmaning ikkinchi darajasini olamiz: 42=16;
3) Hosil bo’lgan songa ozod hadni qo’shamiz: 16+9=25;
4) Ikkinchi darjasi16+9 yig’indiga teng bo’lgan sonni topamiz – 5;
5) Undan dastlabki natija 4 ni ayiramiz: 5-4=1;
6) Javob: 1
Albatta tenglamaning ikkinchi ildizi manfiy son Al Xorazmiy zamonida fanga kiritilmagan edi. Xuddi shuningdek
x2-5x=6
x2+6x=7 Javob: (6;-1)
tenglamalarni ham Al Xorazmiy usuli bilan yechib o’quvchilarga ko’rsatib berilsa, o’quvchilarning qiziqishlari ortadi. O’zlari ham shu kabi masalalarni tuzishlari mumkin. Ana shu tushunchalardan so’ng o’quvchilarga kvadrat tenglamaning ildizi tushunchasi berilsa, ya’ni kvadrat tenglamada noma’lumning o’rniga qo’yilgan son tenglamani to’g’ri tenglikka aylantirsa, u son tenglamaning ildizi deyiladi degan ta’rifni sodda qilib tushuntirish mumkin.
4
ax2=0
ax2+c=0
ax2+bx=0
ko’rinishdagi tenglamalar chala kvadrat tenglamalar deyiladi va ularning yechishning umumiy qoidalari, usullari ko’rsatib beriladi.
Misollar:
5x2=0 ko’paytmaning nolga teng bo’lish shartiga asosan:
x2=0 ya’ni (5 bilan x2 ning ko’paytmasi nol bo’lishi uchun albatta
x=0 ikkinchi ko’paytuvchi nol bo’lishi kerak).
2 – ko’rinishdagi tenglamalarga misollar.
1) 3x2-27=0 /:3 2) 2x2+7=0
7
x2-9=0 x2=-
2
x2=9 (1 – teoremaga ko’ra) Bu tenglama haqiqiy ildizga ega emas x1=-3; x2=3 chunki, x 2≥0
3 – ko’rinishdagi tenglamalar: -3x2+5x=0
x(-3x+5)=0
x1=0 va -3x+5=0; x2=
Misollar:
5
3
Javob: (0;
5
3
)
2 1
x
1. 4x2-169= 0 2. 5
3
169
x2=
4
x2-1=15; x2=16; x1,2= 4
x=
3. 3=
13
169
2
4
x1=-
9x2 4
4
1
2
6 ; x2=
1
2
6
9x2-4=12; 9x2=16;
2 16
9
x ;
4
16
3
9
x1,2
5
x
2 9
x
4. 0
3
x x
( 3)( 3)
x
; 0
3
; x+3=0; x=-3
x
x x
2 2
5. 0
2
x
(2 )
x x
; 0
2
; x=0
x
9 2
6. 1
5
; 9-x2=5; x2=9-5; x2=4; x1,2= 4 2 ; x1=-2; x2=2
2 1
7. 9x2+1=0; 9x2=-1;
9
x yechimi yo’q
15
8. 3 x2=15; x2= 5
3
; x 5 ; x1 5 ; x2 5
O’quvchilarga chala kvadrat tenglamalarni yechishni tushuntirilgandan so’ng kvadrat tenglamalarni yechishni dastlabki ko’rinishi “To’la kvadratga ajratish” usuli bilan tanishtiriladi.
Misol. Kvadrat tenglamani yeching.
1)x2+2x-3=0 2) x2+6x-7=0
x2+2x=3 x2+6x=7
x2+2x+1=3+1 x2+2∙3x=7
(x+1)2=4 x2+2∙3x+32=7+32
x+1=2 yoki x+1=-2 (x+3)2=7+9
x1=1; x2=-3 (x+3)2=16 Bu tenglamaning yechimlari
Javob: (1; -3) x+3=4 yoki x+3=-4
x1=1; x2=-7 dan iborat.
Javob: (1;-7)
Darslikdagi “m ning qanday qiymatlarida quyidagi ifodalar to’la kvadrat holida bo’ladi?” ko’rinishidagi mashqlarni ko’rib chiqamiz.
1) x2+4x+m
x2+2∙2x+22=(x+2)2 Javob: 4
2) x2-6x+m
x2 -2∙3x+32 Javob: 9
Kvadrat tenglamalarni yechishni bir necha usullarini ko’ramiz.
1-usul. Diskriminant usuli:
misol. x2+4x-5=0
D=42-4∙1∙(-5)=16+20=36
6
x1=-5; x2=1
2-usul. Ko’paytuvchilarga ajratish usuli:
misol. 1) x2-3x-270=0
2) x2-3x-4=0
yechish: x2-3x-x+x-4=0; x2-4x+x-4=0
x(x-4)+(x-4)=0
(x-4)(x+1)=0
x-4=0 dan x1=4
x+1=0 dan x2=-1
3) 4x2-49=0 misolda qisqa ko’paytirish formulasidan faydalanib:
(2x-7)(2x+7)=0
2x-7=0 yoki 2x+7=0
2x=7 2x=-7
x1=3.5 x2=-3.5
3-usul. To’la kvadrat ajratish usuli:
misol. 1 ) x2+10x-24=0
x2+2∙5x+25-25-24=0
(x+5)2=49
a) x+5=7; b) x+5=-7
x=7-5 x=-7-5
x1=2 x2=-12
Javob: x1=2; x2=-12
2) Ikkinchi noma’lum son oldidagi koeffitsiyent toq son bo’lsa
x2+5x+6=0
2 2
2
2
2
2
5
5
5
x x
(x+2)(x+6)=0 6 0
2
6
)
25
5
2
2
(x 2
)
1
5
4
2
(x 2
1
5
2
2
x
5
1
2
2
x
1
5
2
2
x
5
1
2
2
x
x1=-2 x2=-3
Javob: x1=-2; x2=-3
7
4-usul. x2+4x-5=0
b D
x1,2 2 4
ac
D b
)2
2
(
4 a
x
36
4
2 9 2 3
1
4
2
1,2
x1=-5; x2=1; Javob: x1=-5; x2=1;
5-usul. Viyet teoremasini qo’llash.
x2+4x-5=0
x1+x2=-4 x1=1;
x1∙x2=-5 x2=-5 Javob : x1=1; x2=-5
6-usul. x2+4x-5=0 ildizi 5 ni bo’luvchisi 5: 1 ; 5
x1=1; x2=-5 Javob: x1=1; x2=-5
7-usul. x2+4x-5=0
a+b+c=1+4-5=0; Demak: x1=1; x2=-5
8-usul. x2+4x-5=0
x2+4x=5
x(x+4)=5 bitta son ikkinchisidan 4 ta ortiq, demak:
1(1+4)=5 x1=1
x(x+4)=5∙1
x(x+4)=-5∙1 x2=-5
9-usul. x2+4x-5=0
(x-1)(x+5)=0
x-1=0; x+5=0;
x1=1; x2=-5; Javob: x1=1; x2=-5 10-usul. x2+4x-5=0
D=b2-4ac; x1,2=
2
с
;
b D
10
2
10
1
10
2 ( 5)
1,2
x
x ; 5
4 6
4 36
4 6
x ; 1
4 6
Kvadrat tenglamalarda x2 oldidagi koeffitsiyent 1 dan farqli bo’lsa tenglamani ildizlaridan biri albatta kasr son bo’lishini o’quvchilarga tushuntirish kerak.
Misollar:
8
1. 12x2+7x+1=0 2. 2x2+x-3=0
(4x+1)(3x+1)=0 (2x+3)(x-3)=0
4x+1=0; 3x+1=0 2x+3=0; x-3=0
4x=-1 3x=-1 2x=-3 x=3
1
4
x1
1
3
x2
3
2
x
Javob:
1
4
x1 ;
1
3
x2 Javob:
3
2
x1 ; x2=3
Endi kvadrat tenglamaning ildizlarini keltirib chiqaramiz.
ax2+bx+c=0; a≠0 tenglama, berilgan har ikki qismini a ga bo’lamiz.
x
c
b
a
a
x 2 =0;
x
c
b
a
a
x 2 ;
)
(
) (
(
x
2
2
2 2 ) 2
2
4
b ac
b
b
c
b
x
2
b
a
4
a
2
a
a
a
2
a
2
x ; 2
4
b ac
b
2
2 )
2
a
a
2
) (
x
(
Agar b2-4ac≥0 bo’lsa, 2
x
4
b ac
b
2
a
2
a
2
x
1,2
4
b ac
b
2
a
2
a
2
bundan:
x
1,2
b b ac
2 4
a
2
– Bu formula kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi deyiladi.
Bu for muladan b2-4ac ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.
a) agar b2-4ac>0 bo’lsa kvadrat tenglama 2 ta ildizga ega bo’ladi.
b) agar b2-4ac=0 bo’lsa tenglama bitta ildizga ega bo’ladi.
c) agar b2-4ac<0 bo’lsa ax2+bx+c=0 tenglama haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi.
Ko’p hollarda ax2+2mx+c=0 ko’rinishidagi tenglamalar ildizi
Formula bilan hisoblanadi, (bunda b=2m) ya’ni ikkinchi had koeffitsiyenti juft son bo’lsa, yarmini olib ishlash qulaydir.
Misollar: 1) x2-12x+20=0
=6
x1=10; x2=2 2) x2-50x+49=0
=25
9
x1=49; x2=1
Viyet teoremasi:
x2+px+q=0 ko’rinishidagi tenglamalar keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi.
Agar x1 va x2 lar x2+px+q=0 tenglamaning ildizlari bo’lsa, u holda:
x1+x2=-p
x1∙x2=q o’rinli
ya’ni keltirilgan kvadrat tenglamada ildizlarining yig’indisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi had koeffitsiyentiga, ko’paytmasi esa ozod hadga teng.
O’quvchilarga ax4+bx2+c=0 ko’rinishidagi tenglamaning Bikvadrat tenglama ekanligi haqida tushuncha beriladi va x2=t belgilash yordamida yechish kerakligi ko’rsatiladi.
Misollar:
1 ) x4-7x2+12=0, x2=t
t2-7t+12=0
Javob: .
2) 9x4+5x2-4=0, x2=t
9t2+5t-4=0
t2=-1; x2=-1 – yechim yo’q. Javob:
3) 2x4+5x2-7=0, x2=t
2t2+5t-7=0
10
4) 4x4+7x2-11=0, x2=t 4t2+7t-11=0
Javob:
Xulosa
Kvadrat tenglamalarni va Bikvadrat tenglamalarni yechish va uning yordamida masalalar yechish VIII sinf algebra kursida puxta o’rganilsa, albatta keying matematika bo’lim va boblarini o’rganishga muhim kalit bo’ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Umu miy o’rta ta’li mning Davlat ta’li m standartlari va o’quv dasturi. “Sharq” 1999 yil.
2. “Algebra” 8-sinf darsligi.
3. M. Ahadova “O’rta Osiyolik mashxur olimlar va ularning matematikaga doir ishlari” kitobi. “O’qituvchi
” nashriyoti. 1983 yil.
4. “Ma’rifat” gazetasining 2010 yil 27 yanvar soni.
11
Do'stlaringiz bilan baham: |