Matematika fani o`qituvchisi



Download 1,06 Mb.
Sana18.02.2020
Hajmi1,06 Mb.
#40140
Bog'liq
kvadrat tenglamalar va ularning yechish usullari







O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI XALQ TALIMI VAZIRLIGI
FARG`ONA VILOYAT HOKIMLIGI

XALQ TA’LIMI BOSHQARMASI

FARG`ONA VILOYAT PEDAGOG KADRLARNI QAYTA TAYYORLASH VA MALAKASINI OSHIRISH INSTITUTI MATEMATIKA kurs tinglovchisi

Yozyovon tumani 32-umumta’lim maktabi
MATEMATIKA fani o`qituvchisi
Abdurazzoqov Abdumuxtorning


MALAKAVIY ISHI

Mavzu: “Kvadrat tenglamalar va ularning echish
usullari”.


Farg’ona 2013 yil.

2



Mavzu: “Kvadrat tenglamalar ularning yechilish usullari”.

Reja:

I. Kirish.

1.Mustaqillik davrida mamlakatimizda ta‘lim sohasidagi islohatlar.

2. Kvadrat tenglamalar va bikvadrat tenglamar haqida tushuncha.

3. Kvadrat tenglama ildizlari va ularni topish formulalari.

II. Asosiy qism.

Kvadrat tenglama, bikvadrat tenglamarni yechushni bir necha usullari.

III. Xulosa.



Kirish

Mamlakatimiz 1991 yil mustaqillikka erishgandan boshlab ta’limning rivojlantirish maslasining eng asosiy masala sifatida qaraldi. Buning natijasida 1992 yil “Ta’lim to‘g‘risidagi” qonun qabul qilindi.

Bu qonunga asosan O‘zbekistonda ta’limning yo‘lga qo‘yishdagi dastlabki qadam qo‘yildi. 1991 yil avgustda O‘zbekistonda “Ta’lim to‘g‘risidagi” qonun va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturlari” qabul qilindi.

Respublikamizda Xalq ta‘limini rivojlantirishni va qayta isloh qilish sohasida bir qator qonun qaror va farmonlar qabul qilindiki, bu hujjatlar xalq ta’limining rivojlantirishning bosh vazifalari, yo’nalishlari va bosqichlari ko’rsatib berildi. Ana shunday vazifalardan biri ta’lim tizimida o’quv qo’llanmalari va o’quv dasturlaridir. Ularni takomillashtirish, hozir maktablarning V-IX sinf darsliklarida takomillashtirilgan, qayta ko’rib chiqilgan darsliklardir. O’rta maktablarning “VIII sinf algebra” kursi (mualliflari Sh. Alimov, O. Xolmuhammedov, M. Mirzarahimov). Mamlakatimiz Prezidenti I. A. Karimov o’qituvchilarni obro’sini ko’tarish maqsadida 1-oktabrni “Ustoz va murabbiylar kuni” bayrami deb e’lon qildi. Bu bayram umumxalq bayramiga aylandi va dam olish kuni sifatida qabul qilindi.

Prezidentimiz qaroriga asosan 2004-2009 yillarda mamlakatimizda umumta’lim maktablarini capital va joriy remont qilish ishlari boshlab yuborildi va ko’plab maktablar remontdan chiqarildi va ko’plab yangi maktablar qurildi. Hozirgi kunda maktablarda o’quvchilarni bilim olishlari uchun yaxshi sharoitlar yaratib berildi. Mustaqillikka erishishimiz bilan buyuk allomalarimiz va ularni meroslarini o’rganishga e’tibor berila boshladi. Buning natijasida Muhammad al Xorazmiy, Abu Nasr Farobiy, Abu Rayxon Beruniy, Abu Ali ibn Sino, Umar Xayyom, Mirzo Ulug’bek singari buyuk allomalarimizning hayotlari keng o’rganilmoqda. Ular uchun yodgorliklar o’rnatildi va nomlari abadiylashtirildi.

O’rta maktablarda “VIII sinf algebra” kursida (mualliflari Sh. Alimov, O. Xolmuhammedov, M. Mirzarahimov) kvadrat tenglamalar bobi uchun o’quv reja bo’yicha soat ajratilgan. Kvadrat tenglamalar va ularning ildizlari haqida tushuncha berishda turli manbalardan adabiyotlardan foydalanib o’quvchilarga tushuntirilsa maqsadga muvofiq bo’ladi.



1-masala.

To’g’ri to’rtburchakning asosi balandligidan 10 sm ortiq uning yuzi esa 24 sm2 ga teng. To’g’ri to’rtburchakning balandligini toping.



Yechish: To’rtburchakning balandligi x

Uning asosi x+10

3


Masalani shartiga ko’ra uning yuzi x(x+10)=24
Qavslarni ochib x2+10x-24=0 ni xosil qilamiz.
x2+10x-24=x2+12x-2x-24=0

x(x+12)-2(x+12)=(x-2)(x+12)=0

(x-2)(x+12)=0; x-2=0; x+12=0

x1=-12; x2=2

Javob: To’g’ri to’rtburchakning balandligi 2 sm gat eng, x=-12 soni masalani yechimi bo’la olmaydi. Chunki kesmaning uzunligi manfiy son bo’la olmaydi.

Bu masalani yechishda kvadrat tenglama deb ataluvchi x2+10x-24=0 tenglama hosil qilindi.

Shunday qilib:

ax2+bx+c=0 ko’rinishdagi tenglamalar kvadrat tenglamalar deb atalishini o’quvchilarga tushuntiriladi va misolllar bilan mustahkamlanadi.

3x2-4x-8=0
2 x2-3=0
x2+5x=0

12 x2=0

ax2+bx+c=0 kvadrat tenglamada: a – birinchi koeffitsiyent, b – ikkinchi koeffitsiyent, c – ozod had.

Mashxur shoir va matematik Umar Xayyom (1048 1123) asarlarida ham kvadrat tenglamalar uchraydi. Al Xorazmiy (783 – 850) ning “Al jabr val-muqobala” kitobida kvadrat tenglamaning ba’zi yechimlarini keltirib o’tgan (Qodirov O’ tavsiyalari).



Masala. Noma’lum sonning ikkinchi darajasi va noma’lum sondan 8 tasining yig’indisi 9 ga teng. Shu sonni toping.
Masalaning algebraik ifodasi x2+8x=9 bo’ladi.

Bu tenglamani Al Xorazmiy o’z asarida quyidagicha bayon etgan va yechimini topgan:

1) Noma’lum sondan nechta bo’lsa shuning yarmini olamiz: 8:2=4;
2) Bo’linmaning ikkinchi darajasini olamiz: 42=16;

3) Hosil bo’lgan songa ozod hadni qo’shamiz: 16+9=25;

4) Ikkinchi darjasi16+9 yig’indiga teng bo’lgan sonni topamiz – 5;

5) Undan dastlabki natija 4 ni ayiramiz: 5-4=1;

6) Javob: 1

Albatta tenglamaning ikkinchi ildizi manfiy son Al Xorazmiy zamonida fanga kiritilmagan edi. Xuddi shuningdek


x2-5x=6
x2+6x=7 Javob: (6;-1)

tenglamalarni ham Al Xorazmiy usuli bilan yechib o’quvchilarga ko’rsatib berilsa, o’quvchilarning qiziqishlari ortadi. O’zlari ham shu kabi masalalarni tuzishlari mumkin. Ana shu tushunchalardan so’ng o’quvchilarga kvadrat tenglamaning ildizi tushunchasi berilsa, ya’ni kvadrat tenglamada noma’lumning o’rniga qo’yilgan son tenglamani to’g’ri tenglikka aylantirsa, u son tenglamaning ildizi deyiladi degan ta’rifni sodda qilib tushuntirish mumkin.

4


ax2=0
ax2+c=0
ax2+bx=0

ko’rinishdagi tenglamalar chala kvadrat tenglamalar deyiladi va ularning yechishning umumiy qoidalari, usullari ko’rsatib beriladi.

Misollar:

5x2=0 ko’paytmaning nolga teng bo’lish shartiga asosan:
x2=0 ya’ni (5 bilan x2 ning ko’paytmasi nol bo’lishi uchun albatta

x=0 ikkinchi ko’paytuvchi nol bo’lishi kerak).

2 – ko’rinishdagi tenglamalarga misollar.


1) 3x2-27=0 /:3 2) 2x2+7=0

7


x2-9=0 x2=-
2

x2=9 (1 – teoremaga ko’ra) Bu tenglama haqiqiy ildizga ega emas x1=-3; x2=3 chunki, x2≥0

3 – ko’rinishdagi tenglamalar: -3x2+5x=0



x(-3x+5)=0

x1=0 va -3x+5=0; x2=

Misollar:


5

3
Javob: (0;


5

3
)




2 1





x
1. 4x2-169= 0 2. 5

3

169



x2=
4
x2-1=15; x2=16; x1,2=  4

x=

3. 3=




13
169


2

4
   x1=-

9x2 4

4
1




2
6 ; x2=
1


2
6

9x2-4=12; 9x2=16;
2 16


9
x  ;



4
16


3

9
x1,2

5

4


3
x1 ;

4


3
x2



x



2 9



x




4. 0

3


x x

( 3)( 3)

 

x






; 0

3

; x+3=0; x=-3




x





x x



2 2
5. 0

2


x





(2 )

x x


; 0

2
; x=0






x

9 2
6. 1

5
; 9-x2=5; x2=9-5; x2=4; x1,2=  42 ; x1=-2; x2=2



2 1

7. 9x2+1=0; 9x2=-1;

9
x   yechimi yo’q



15



8. 3 x2=15; x2= 5

3
 ; x   5 ; x1   5 ; x2  5

O’quvchilarga chala kvadrat tenglamalarni yechishni tushuntirilgandan so’ng kvadrat tenglamalarni yechishni dastlabki ko’rinishi “To’la kvadratga ajratish” usuli bilan tanishtiriladi.

Misol. Kvadrat tenglamani yeching.

1)x2+2x-3=0 2) x2+6x-7=0



x2+2x=3 x2+6x=7

x2+2x+1=3+1 x2+2∙3x=7

(x+1)2=4 x2+2∙3x+32=7+32

x+1=2 yoki x+1=-2 (x+3)2=7+9

x1=1; x2=-3 (x+3)2=16 Bu tenglamaning yechimlari

Javob: (1; -3) x+3=4 yoki x+3=-4



x1=1; x2=-7 dan iborat.

Javob: (1;-7)

Darslikdagi “m ning qanday qiymatlarida quyidagi ifodalar to’la kvadrat holida bo’ladi?” ko’rinishidagi mashqlarni ko’rib chiqamiz.

1) x2+4x+m



x2+2∙2x+22=(x+2)2 Javob: 4
2) x2-6x+m

x2 -2∙3x+32 Javob: 9

Kvadrat tenglamalarni yechishni bir necha usullarini ko’ramiz.



1-usul. Diskriminant usuli:

misol. x2+4x-5=0


D=42-4∙1∙(-5)=16+20=36

6



x1=-5; x2=1

2-usul. Ko’paytuvchilarga ajratish usuli:
misol. 1) x2-3x-270=0

2) x2-3x-4=0
yechish: x2-3x-x+x-4=0; x2-4x+x-4=0

x(x-4)+(x-4)=0

(x-4)(x+1)=0

x-4=0 dan x1=4

x+1=0 dan x2=-1

3) 4x2-49=0 misolda qisqa ko’paytirish formulasidan faydalanib:



(2x-7)(2x+7)=0

2x-7=0 yoki 2x+7=0

2x=7 2x=-7

x1=3.5 x2=-3.5

3-usul. To’la kvadrat ajratish usuli:
misol. 1) x2+10x-24=0
x2+2∙5x+25-25-24=0
(x+5)2=49

a) x+5=7; b) x+5=-7

x=7-5 x=-7-5

x1=2 x2=-12

Javob: x1=2; x2=-12

2) Ikkinchi noma’lum son oldidagi koeffitsiyent toq son bo’lsa

x2+5x+6=0


2 2
2





2

2





2





5





5

5



xx
(x+2)(x+6)=0 6 0

2



6

)

25
5


2

2
(x2  

)

1
5


4

2
(x2


1
5


2

2
x  


5
1


2

2
x  

1
5


2

2
x   


5
1


2

2
x   

x1=-2 x2=-3

Javob: x1=-2; x2=-3

7



4-usul. x2+4x-5=0





b D
x1,2 2 4



ac

D b
)2

2
(

4 a




x

36
4


2 9 2 3

1


4

2
1,2

x1=-5; x2=1; Javob: x1=-5; x2=1;

5-usul. Viyet teoremasini qo’llash.
x2+4x-5=0

x1+x2=-4 x1=1;



x1∙x2=-5 x2=-5 Javob: x1=1; x2=-5
6-usul. x2+4x-5=0 ildizi 5 ni bo’luvchisi 5:  1 ;  5

x1=1; x2=-5 Javob: x1=1; x2=-5
7-usul. x2+4x-5=0

a+b+c=1+4-5=0; Demak: x1=1; x2=-5
8-usul. x2+4x-5=0

x2+4x=5

x(x+4)=5 bitta son ikkinchisidan 4 ta ortiq, demak:

1(1+4)=5 x1=1

x(x+4)=5∙1

x(x+4)=-5∙1 x2=-5
9-usul. x2+4x-5=0

(x-1)(x+5)=0

x-1=0; x+5=0;

x1=1; x2=-5; Javob: x1=1; x2=-5 10-usul. x2+4x-5=0

D=b2-4ac; x1,2=
2
с


;

b D




10

2

10

1

10

2 ( 5)
1,2



x



x  ; 5
4 6


 


4 36

4 6


x  ; 1

4 6

Kvadrat tenglamalarda x2 oldidagi koeffitsiyent 1 dan farqli bo’lsa tenglamani ildizlaridan biri albatta kasr son bo’lishini o’quvchilarga tushuntirish kerak.



Misollar:

8

1. 12x2+7x+1=0 2. 2x2+x-3=0

(4x+1)(3x+1)=0 (2x+3)(x-3)=0

4x+1=0; 3x+1=0 2x+3=0; x-3=0

4x=-1 3x=-1 2x=-3 x=3


1


4
x1
1


3
x2
3


2
x  

Javob:
1




4
x1 ;
1


3
x2 Javob:
3


2
x1 ; x2=3

Endi kvadrat tenglamaning ildizlarini keltirib chiqaramiz.

ax2+bx+c=0; a≠0 tenglama, berilgan har ikki qismini a ga bo’lamiz.


x

c
b


a

a
x 2   =0;

x

c
b


a

a
x 2    ;


)

(

) (

(

x

2

2

2 2 ) 2

2


4

b ac

b

b

c

b

x  

2
b


a

4

a

2

a

a

a

2

a

2
x      ; 2

4

b ac

b

 


2

2 )

2



a

a

2

) (

x

(
Agar b2-4ac≥0 bo’lsa, 2



x

4

b ac

b
2


a

2

a

2
  

x

1,2


4

b ac

b

2



a

2

a

2
   bundan:


x

1,2


b b ac

2 4
  


a

2
 – Bu formula kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi deyiladi.

Bu formuladan b2-4ac ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.

a) agar b2-4ac>0 bo’lsa kvadrat tenglama 2 ta ildizga ega bo’ladi.

b) agar b2-4ac=0 bo’lsa tenglama bitta ildizga ega bo’ladi.

c) agar b2-4ac<0 bo’lsa ax2+bx+c=0 tenglama haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi.

Ko’p hollarda ax2+2mx+c=0 ko’rinishidagi tenglamalar ildizi


Formula bilan hisoblanadi, (bunda b=2m) ya’ni ikkinchi had koeffitsiyenti juft son bo’lsa, yarmini olib ishlash qulaydir.

Misollar: 1) x2-12x+20=0



=6


x1=10; x2=2 2) x2-50x+49=0

=25


9


x1=49; x2=1
Viyet teoremasi:

x2+px+q=0 ko’rinishidagi tenglamalar keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi.
Agar x1 va x2 lar x2+px+q=0 tenglamaning ildizlari bo’lsa, u holda:

x1+x2=-p

x1∙x2=q o’rinli

ya’ni keltirilgan kvadrat tenglamada ildizlarining yig’indisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi had koeffitsiyentiga, ko’paytmasi esa ozod hadga teng.

O’quvchilarga ax4+bx2+c=0 ko’rinishidagi tenglamaning Bikvadrat tenglama ekanligi haqida tushuncha beriladi va x2=t belgilash yordamida yechish kerakligi ko’rsatiladi.

Misollar:



1) x4-7x2+12=0, x2=t
t2-7t+12=0




Javob: .



2) 9x4+5x2-4=0, x2=t
9t2+5t-4=0





t2=-1; x2=-1 – yechim yo’q. Javob:

3) 2x4+5x2-7=0, x2=t


2t2+5t-7=0



10




4) 4x4+7x2-11=0, x2=t 4t2+7t-11=0






Javob:

Xulosa

Kvadrat tenglamalarni va Bikvadrat tenglamalarni yechish va uning yordamida masalalar yechish VIII sinf algebra kursida puxta o’rganilsa, albatta keying matematika bo’lim va boblarini o’rganishga muhim kalit bo’ladi.



Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Umumiy o’rta ta’limning Davlat ta’lim standartlari va o’quv dasturi. “Sharq” 1999 yil.

2. “Algebra” 8-sinf darsligi.

3. M. Ahadova “O’rta Osiyolik mashxur olimlar va ularning matematikaga doir ishlari” kitobi. “O’qituvchi

” nashriyoti. 1983 yil.



4. “Ma’rifat” gazetasining 2010 yil 27 yanvar soni.


11

Download 1,06 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish