Федеральное агенство по образованию


Решение неоднородного волнового уравнения при однородных граничных условиях и неоднородных начальных условиях



Download 1,66 Mb.
bet11/33
Sana23.02.2022
Hajmi1,66 Mb.
#172352
TuriУчебное пособие
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   33
Bog'liq
Ряды Фурье

2.2.2. Решение неоднородного волнового уравнения при однородных граничных условиях и неоднородных начальных условиях
Рассмотрим следующую задачу: найти закон колебаний однородной струны длиной l под действием внешней гармонической силы F(x, t) = ρf(x)sinωt, рассчитанной на единицу длины струны. Начальные ус­ловия произвольны. Концы струны закреплены.
Задача приводится к решению уравнения
, (2.25)
где Ω(x, t) = f(x)sinωt при однородных граничных условиях
(2.26)
и начальных условиях
. (2.27)
Решение задачи (2.25–2.27) будем строить в общем виде, но для определённости в дальнейшем примем, что
. (2.28)
где a, g, γ – константы.
Применяем редукцию исходной задачи (2.25–2.27), а именно ищем решение в виде
, (2.29)
где функция является решением начально-краевой задачи для однородного уравнения
(2.30)
с однородными граничными условиями
(2.31)
и с начальными условиями
, (2.32)
а функция является решением начально-краевой задачи для неоднородного волнового уравнения
(2.33)
при однородных граничных и начальных условиях
, (2.34)
. (2.35)
Задача (2.30–2.32) описывает собственные колебания струны, её решение известно (см. п.2.2.1, выражение (2.18))
,
причём произвольные постоянные An и Bn определяются по формулам (2.21–2.22).
Если U0(x) и V0(x) определяются согласно (2.28), то получим
, (2.37)
Поэтому
. (2.38)
Задача (2.33–2.35) описывает вынужденные колебания струны при отсутствии начальных возмущений (при однородных начальных условиях). Решение её ищем в виде разложения в ряд по собствен­ным функциям однородной задачи (2.2–2.3).
Так как ими являются согласно (2.15) синусы, то принимаем
. (2.39)
При этом удовлетворяются граничные условия (2.34). Задача сводится к отысканию функции Wn(t). Подставляя (2.39) в уравнение (2.33), получим
. (2.40)
Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, l] правую часть уравнения (2.40)
. (2.41)
При (см. (2.28)) получим

.
Подставляя (2.41) в уравнение (2.40), получим
.
Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых собственных функциях, приходим к уравнению
. (2.42)
С учетом найденного выражения для bn уравнение (2.42) примет вид
. (2.43)
Подставляя далее (2.39) в начальные условия (2.35), получим
. (2.44)
Таким образом, отыскание функции Wn(t) свелось к решению задачи Коши для обыкновенного линейного неоднородного дифферен­циального уравнения второго порядка (2.43) с начальными условиями (2.44).
Общее решение уравнения (2.43) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, определяемого методом подбора, и имеет вид
. (2.45)
Произвольные постоянные находим из начальных условий (2.44):
. (2.46)
В результате решение задачи Коши (2.43–2.44) примет вид
. (2.47)
Подставляя (2.47) в (2.39), находим решение задачи (2.33–2.35):
. (2.48)
Суммируя решения (2.38) и (2.48), окончательно находим

.
Из полученного решения следует, что в случае, когда частота ω внешней возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот колебаний струны ωn = nπa/l (явление резонанса), отклонения струны от положения равновесия неограниченно возрастают.

Download 1,66 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   33




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish