Algebra va sonlar nazariyasi

R = {(2,4), (2,5), (2,6), (4,5), (4,6), (5,6)}.

12. 
    ta’rif. A to‘plamda aniqlangan R binar munosabati uchun quyidagi shartlar bajarilsa, A to‘plamda ekvivalentlik munosabati aniqlangan deyiladi:
    

1. 
   Vx e A uchun xRx munosabat o‘rinli (refleksivlik);
   
2. 
   xRy munosabatdan yRx munosabatning o‘rinliligi kelib chiqsa (simmetrik);
   
3. 
   xRy va yRz munosabatlardan xRz munosabat o‘rinli ekanligi
   

kelib chiqsa (tranzitivlik).
A to‘plamning x va y elementlari orasida R ekvivalentlik
R
munosabati qisqacha x~y shaklda yoziladi.
Masalan, haqiqiy sonlar to‘plamidagi tenglik munosabatlari ekvivalentlik munosabatlari bo‘ladi.

12. 
    teorema. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy R ekvivalentlik munosabati A to‘plamni o‘zaro kesishmay-
    

digan sinflarga ajratadi va aksincha, A to‘plam o‘zaro kesishmay- digan sinflarga bo‘lingan bo‘lsa, u holda A to‘plamda berilgan bo‘linishlarga mos keluvchi ekvivalentlik munosabati aniqlash mumkin.

Isbot. Aytaylik, A to‘plamda R ekvivalentlik munosabati aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy a e A element uchun R[a] = {x e A \(a, x) e R} to‘plamni aniqlaymiz. R refleksiv bo‘lganligi uchun a e R\a] ya’ni aniqlangan to‘plam bo‘sh emas. Ushbu to‘plamlar A to‘plamda o‘zaro kesishmaydigan sinflarni hosil qilishini ko‘rsatamiz. Aytaylik, R[a\ va R[b] to‘plamlar umumiy elementga ega bo‘lsin. U holda z &R[a\C\R\b\, ya’ni zeR[a\ va z e R[b]. Bundan esa, (a, z) e R va (b,z) e R ekanligini hosil qilamiz.
Ixtiyoriy x e R[a~] element olaylik, u holda (a, x) e R. Agar (a, z) e R ekanligi, hamda R munosabatning simmetrik va tranzitivligidan foydalansak, (z,x) e R bo‘lishini hosil qilamiz. So‘ngra, (b,z) e R ni hisobga olib (b, x) e R ni olamiz. Bu esa, x e R[b] ekanligini anglatadi. Demak, R[a] с R[b].
Xuddi shunga o‘xshab R[b] с R^a'] ekanligini hosil qilib, R[a] = R[b] tenglikka ega bo‘lamiz. Bu esa R[a] o‘zaro kesishmay­digan sinflar ekanligini anglatadi.
Va aksincha, agar A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan sinflarning birlashmasi shaklida ifodalangan bo‘lsa, R munosabatni quyidagicha aniqlaymiz. Agar a va b elementlar bitta sinfga tegishli bo‘lsa, ularni R binar munosabat orqali bo‘g‘langan deymiz. Ravshanki, bu R munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladi. □
Agar biror A to‘plam R ekvivalentlik munosabati yordamida o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlarga bo‘lingan bo‘lsa, hosil bo‘lgan qism to‘plamlarni ekvivalent sinflar deb ataymiz. A ning bu ekvivalentlik sinflar to‘plami A/R kabi belgilanadi va u faktor- to‘plam deb ataladi.


13

Masalan, Z to‘plamni barcha juft sonlar Z₀ = {2n \ n e Z} va toq sonlar Zj = {2/7 + 11 /7 e Z} ko‘rinishida ikkita sinfga ajratsak, ushbu bo‘linishga mos keluvchi ekvivalentlik munosabati R = {(^Х,У) I X-J juft son} cZxZ ko‘rinishida bo‘ladi.

3. 
   - §. Akslantirishlar
   

Ushbu paragrafda A va B to‘plamlar orasidagi akslantirishlar va ularning turlari haqida ma’lumotlar beriladi.

1. 
   ta’rif. A to‘plamdan olingan xar bir x elementga biror-bir f qoidaga ko‘ra B to‘plamdan yagona y = f (x) element mos qo‘yilgan bo‘lsa, bu f qoidaga akslantirish deyiladi.
   

Akslantirishlar odatda f: A ^ B kabi belgilanadi. Shuningdek, agar A = B bo‘lsa, f akslantirishga almashtirish deb ataladi.
f: A ^ B akslantirish uchun A to‘plam f akslantirishning aniqlanish sohasi, B to‘plam esa qiymatlar sohasi deyiladi. f akslantirishning obrazi (aksi) deb quyidagi to‘plamga aytiladi: f (A) = {f (x)|x e A}.
Akslantirishning obrazi adatda Im f kabi belgilanadi, ya’ni Im f = f (A). Ixtiyoriy y e B elementning proobrazi (asli) deb
^f "¹⁽ y⁾ =^{{x e A1 f (x)}=y^}
to‘plamga aytiladi.
B to‘plamning barcha elementlari proobrazlari to‘plami esa akslantirishning proobrazi deyiladi.
Misol 3.1. /:M—>M, /(x) = x² qoida bilan berilgan moslik akslantirish bo‘lib, Im/ = M₊ barcha musbat haqiqiy sonlar to‘plami bo‘ladi, xususan f ~'(9) = {-3, 3}.

2. 
   ta’rif. f: A ^ B va g: A ^B akslantirishlar berilgan bo‘lib, barcha x e A elementlar uchun f (x) = g(x) tenglik o‘rinli
   

bo‘lsa, u holda f va g akslantirishlar teng deyiladi, hamda f = g kabi belgilanadi.

3. 
   ta’rif. Agar f: A ^ B akslantirish uchun Im f = B bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy y e B element uchun x e A element topilib, f (x) = y bo‘lsa, f akslantirishga syuryektiv deyiladi.
   
4. 
   ta’rif. Agar f: A ^ B akslantirish uchun x ^ x₂ ekanligidan f (x ) ^ f (x) kelib chiqsa, f akslantirish inyektiv deyiladi.
   
5. 
   ta’rif. Bir vaqtning o‘zida ham syuryektiv, ham inyektiv bo‘lgan akslantirishga biyektiv (o‘zaro bir qiymatli) akslantirish deyiladi.
   

Agar bizga f: A ^ B va g: A ^ B’ akslantirishlar berilgan bo‘lib, A с A', B с B' va Vx e A uchun f (x) = g(x), bo‘lsa g akslantirishga / akslantirishning davomi deyiladi.
Misol 3.2. a) /(x) = x² qoida bilan berilgan /: M —»R akslantirishlar syuryektiv ham, inyektiv ham emas;

2. 
   g(x) = x² qoida bilan berilgan g: M —» M₊ akslantirishlar syuryektiv, lekin inyektiv emas;
   
3. 
   p(x) = x² qoida bilan berilgan p:R₊ —»M akslantirishlar inyektiv, lekin syuryektiv emas;
   
4. 
   h(x) = x² qoida bilan berilgan h:R₊ —> M₊ akslantirish biyektiv bo‘ladi.
   

Bundan tashqari, g akslantirish h akslantirishning davomi, o‘z navbatida f akslantirish esa g akslantirishning davomi bo‘ladi.
Ta’kidlash joizki, agar A to‘plam chekli to‘plam bo‘lsa, f: A ^ A akslantirish inyektiv bo‘lishi uchun uning syuryektiv bo‘lishi zarur va yetarlidir. Demak, A chekli to‘plamni o‘zini o‘ziga akslantiruvchi ixtiyoriy syurektiv aklantirish ham, inyektiv akslantirish ham biyektiv bo‘ladi.


15

6. 
   ta’rif. Agar f: A ^ B va g: B ^ C akslantirishlar uchun shunday h: A ^ C akslantirish mavjud bo‘lib, Vx e A uchun h(x) = g(f(x)) bo‘lsa, h akslantirish / va g akslantirishlaming kompozitsiyasi (ko‘paytmasi) deyiladi va h-go f kabi yoziladi.
   

Akslantirishlaming kompozitsiyasini aniqlanishidan ma’lumki, g° f akslantirish aniqlangan bo‘lsa, f °g akslantirish har doim ham aniqlanavermaydi.
Agar A = B = C bo‘lsa, u holda f °g va g°f akslanirishlar aniqlanadi, lekin ular har doim ham teng bo‘lavermaydi, ya’ni umuman aytganda, /⁰ g ^ g° f.
Masalan, agar /: M —>• M, f(x) = x² va g: R —» R, g(x) = x +1 akslantirishlar berilgan bo‘lsa, u holda /(g(x)) = f(x +1) = (x +1)² va (g°/)(*) = g(*²) = *²+l bo‘ladi, ya’ni f°g^g°f.
Demak, akslantirishlar kompozitsiyasi amali kommutativlik qoidasiga bo‘ysunmaydi.
Quyidagi xossa akslantirishlarning kompozitsiyasi assotsiativlik xossasiga ega bo‘lishini ko‘rsatadi.

7. 
   xossa. Xar qanday f :A^> В, g-.B^-C, h.C —» Z) akslan­tirishlar uchun ho {go y) = (h о g) о f tenglik o‘rinli.
   

Endi birlik va teskari akslantirish tushunchalarini kiritamiz.

8. 
   ta’rif. e(x) = x ko‘rinishida aniqlangan e: A ^ A akslan- tirishga birlik (ayniy) akslantirish deyiladi. Birlik akslantirish odatda e kabi belgilanadi.
   

Ravshanki, birlik akslantirish biyektivdir va ixtiyoriy /: ^4 —» В akslantirish uchun f °e_A=e_B° f = f tenglik o‘rinli bo‘ladi.

9. 
   ta’rif. Agar / : A ^ В akslantirish uchun g:B^>A akslan­tirish topilib, g°f = e_A va f°g = e_B o‘rinli bo‘lsa, g akslantirishga