Algebra va sonlar nazariyasi

Isbot. a = r(cos p + i sin p) va / = p(cos / + i sin /) va kompleks sonlar berilgan bo‘lsin. U holda a

• 
  = r (cos p + i sin p)p^- (cos(-/) + i sin(-/)) =
  

= r - p ¹ (cosp - /) + i sinp - /))


bo‘lib, bundan


27

= r p-¹ = — = — p \p\

Shuningdek,


a
arg— = ф-у = argp-arg^


kelib chiqadi.

3. 
   ta’rif. a va со kompleks sonlari va n natural son uchun
   oⁿ =a tenglik o‘rinli bo‘lsa, со kompleks son a sonning n-darajali
   ildizi deyiladi.
   

Quyidagi teoremada kompleks sondan n-darajali ildiz chiqazish
formulasini keltiramiz.

4. 
   teorema. Ixtiyoriy kompleks son n ta turli n-darajali ildizga
   

ega bo‘lib, ular quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
cp + 2 жк Л . ( cp + 2 жк ,
+ /'sin - , к = 0, n-1.


cos |
n ) V n


Isbot. a sonining n-darajali со kompleks ildizini
оo = p(cose + i sine) ko‘rinishida izlaymiz. Muavr formulasiga asosan
со" = pⁿ (cos пв + i sin пв) = r(cos q> + i sin cp).
Bundan pⁿ=r, пв = (p + 2як, к e Z kelib chiqadi. Bu tenglik-
lardan p = tfr, в = ^ ⁺ , к e Z ni olamiz. Demak, a ning har bir
n
n -darajali ildizi ushbu
(ср + 2жкЛ . (ср + 2жк\ i , , cos +zsm , «e,


n ) V ⁿ ko‘rinishga keladi, va aksincha, bunday ko‘rinishga ega bo‘lgan har qanday kompleks son a ning n-darajali ildizidir.
Endi k ga 0, 1, 2, ..., n — 1 qiymatlar berib, co₀, f, cd₂,..., ^ larni topamiz, bularning hammasi turlicha bo‘ladi, chunki k ni bittaga

°0	= 6/2|	' 7— cos— V j2
o	= ^21	\ ^ 5— cos 3
co2 =	= ^2 J	V 23- cos

hosil bo‘ladi, bu yerda к = 0Д,2. Bundan
. 7—
i sin —
. 5—
i sin—
3
. 23—

1. 
   sin
   

. j2
uchta turli ildizlari hosil bo‘ladi.
Endi bir sonning «-darajali kompleks ildizlari ustida to‘xtalamiz.
Agar a = j = cos 0 + i sin 0 deb olsak, u holda 1 ning «-darajali ildizlari


= nil =


cos


2—к


2—к


к = 0, n - j


29


s


к

bo‘ladi va birning barcha n darajali ildizlari n ta e₀ = 1,e,e₂,...,e_n__x kompleks sonlar to‘plamidan iboratdir. Ushbu to‘plamni _n kabi belgilab olamiz.

5. 
   teorema. Birning barcha ildizlari uchun quyidagi xossalar o‘rinli.
   

1. 
   ^ek^,em ^e<^e >n ^{uchun e}k • ^em ^e<^e>n;
   
2. 
   e_k e< e >„ ^{uchun (e}_k^)—1 e<^e>_n.
   

Isbot. a) Haqiqatan, agar e_k,e_m e>_n, 0 < k,m < n-1 bo‘lsa, (ekem)ⁿ = ek - em = 1 -1 = 1.


-1 / —1 b) e ning teskarisi e_k bo‘lsa, (e- )


( i X


V^ek )


= — = 1 bo‘ladi.


Muavr formulasiga asosan e_k =ef. Demak, _n to‘plam e_l ildizning darajalari orqali ifodalanadi.

6. 
   ta’rif. Agar birning n-darajali ildizi e_k uchun
   

^{ek ,^ek,^ek".,^ek^} =< ^e >n
shart o‘rinli bo‘lsa, u holda e_k birning n-darajali boshlang‘ich ildizi deyiladi.
(2ftk Л . (2ftk Л

7. 
   tasdiq. e_k = cos I 1 + г sin I I ildiz birning boshlan-
   

g‘ich ildizi bo‘lishi uchun k va n sonlari o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, k va n sonlari o‘zaro tub bo‘lsin. U holda e_k boshlang‘ich ildiz ekanligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni shunday щ va n₂, (0 < n < n₂ < n -1) sonlari topilib, eЩ = e^
bo‘lsin. U holda el²^ = 1 bo‘lib, bundan esa, ^Г2жЖ(n2—= Int,
n
ya’ni k-( -n) = t-n hosil bo‘ladi. Ushbu tenglikdan k va n o‘zaro tub va n - n < n ekanligini hisobga olsak, n₂ = ^ kelib chiqadi. Demak, e_k boshlang‘ich ildiz.

	( 2 nk \	( 2 nk Л	( 2 nk ^		( 2 nk
cos	1 + /sin	I = cos		+ г sin
	V n J	V n J	V n j		V n J

Bundan esa, s" = j ekanligi kelib chiqadi. s_k boshlang‘ich ildiz ekanligi uchun ^ = n, ya’ni d = L
Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, agar n = p tub son bo‘lsa, S ,s₂ ,-,^i larning hammasi boshlang‘ich ildiz bo‘ladi.
Misol 6.3. Birning 3-darajali ildizlarini toping.
2^к 2^к s_k = cos ——— + i sin , к = 0Д, 2 ekanligidan:
^S0 = ^j,
2n . 2n j V3
S = cos + i sin— = + i—,
^j 3 3 2 2
4n .An j V3
s = cos + i sin— = i—.

2. 
   3 3 2 2
   

kelib chiqadi. s ,S lar birning 3-darajali boshlang‘ich ildizlaridir.


к


31

3. 
   BOB. MATRITSALAR VA DETERMINANTLAR
   

7. 
   - §. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar
   

Bizga dastlabki n ta natural sonlar (1,2,...,n) berilgan bo‘lsin. Bu sonlarni o‘sish tartibida joylashishdan tashqari boshqa usullar bilan ham tartiblash mumkin. Masalan, n = 3 bo‘lgan holda (1,2,3) uchlikni (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,2,1) va (3,1,2) kabi tartiblarda joylash- tirishimiz mumkin.

1. 
   ta’rif. 1, 2,..., n sonlaming ma’lum bir tartibdagi joylashi- shiga n ta sondan tuzilgan o‘rin almashtirish deyiladi.