Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

2.Чизиқли фазоларнинг изоморфизми.
Таъриф-4. Агар акслантириш ушбу:
1) - биектив акслантириш.
2) ҳар қандай учун ,
3) ҳар қандай учун шартларни қаноатлантирса, у изоморфизм дейилади.
Натижа-1. Агар акслантириш изоморфизм бўлса, у ҳолда . Ҳақиқатан ҳам, ихтиёрий учун деб олсак кўрсатиш керак бўлган тенгликка эга бўламиз. Бундан кейин биз чизиқли фазоларнинг нолларини ва деб белгилаймиз.
Натижа-2. Изоморфизм таъсирида чизиқли эркли векторлар чизиқли эркли векторларга ўтади. Ҳақиқатдан ҳам агар - чизиқли эркли тизим бўлса, у ҳолда
.
Шунинг учун биринчи натижага асосан

ёки
.
Бу тенглик эса векторларнинг чизиқли эрклилигини билдиради.
Таъриф-5. Агар иккита чизиқли фазолар орасида изоморфизм мавжуд бўлса, фазолар изоморф дейилади.
Теорема-2. Чекли ўлчамли чизиқли фазолар изоморф бўлиши учун уларнинг ўлчамлари тенг бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. бўлсин. тизим чизиқли фазонинг базиси, тизим эса чизиқли фазонинг базиси бўлсин. Ҳар бир да қонуният асосида акслантириш киритамиз. Ҳар бир чизиқли фазонинг вектори шу фазонинг базиси орқали ягона равишда ифодаланишини ҳисобга олсак, ушбу акслантириш биекция бўлади. Иккинчи тарафдан

Худди шундай тенгликни кўрсатиш мумкин. Демак, биз кўрган акслантириш изоморфизм бўлади. Натижада ва чизиқли фазолар изоморфлиги келиб чиқади.
ва чизиқли фазолар изоморф бўлсин. Демак, улар орасида изоморфизм мавжуд. бўлсин, яъни да чизиқли эркли бўлган тизим мавжуд бўлиб, ихтиёрий вектордан ташкил топган тизим чизиқли боғлик бўлсин. Изоморфизм чизиқли эрклиликни сақлагани учун векторлар чизиқли эркли бўлади ва ихтиёрий вектордан ташкил топган тизим чизиқли боғлиқ бўлади. Демак .
Теорема исботланди.