4-ma’ruza Sоnlar kеtma-kеtligi va uning limiti. Yaqinlashuvchi kеtma-kеtliklarning хоssalari. Reja

4. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.

Faraz qilaylik, hamda ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin:

Quyidagi

ketma-ketliklar mos ravishda va ketma-ketliklarning yig’indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi hamda nisbati deyiladi va ular

kabi belgilanadi.

5-teorema. [1, p.131, theorem 6.1.19] Aytaylik va ketma-ketliklari berilgan bo‘lib,



bo‘lsin. U holda da ;

, ya’ni
a)

b)

c)

d)

bo‘ladi.

Teoremaning tasdiqlaridan birini, masalan c)-ning isbotini keltiramiz.

Isbot. Teoremaning shartiga ko‘ra,

Ravshanki,

(3)

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli u 1-teoremaga ko‘ra chegaralangan bo‘ladi:

Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib topamiz:

berilgan hamda ga ko‘ra shunday topiladiki, uchun

bo‘ladi.

Shuningdek, ga ko‘ra shunday topiladiki, uchun

bo‘ladi.

Agar deyilsa, unda uchun bir yo‘la

, (4)

bo‘ladi.

(3) va (4) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa

bo‘lishini bildiradi. ►