Tenzorlarni qo‘shish. Faqat bir xil rangli tenzorlarni
Qo‘shish mumkin va qo‘shishda mos koordinatalari qo‘shiladi.
Tenzorlarni qo‘shish natijasida uning rangi o‘zgarmaydi.
Misol. Masalan, uchinchi rang tenzor quyidagicha qo‘shiladi:
Tenzorlarni ko‘paytirish. A tenzor R1 rangli bo’lb B tenzor
R2 rangli boMsin. Bu tenzorlami ko‘paytirish natijasida R1+R2 rangli C
tenzor hosil bo’ladi.
Misol. A 1 – rang, B 2 – rang tenzorlar bo’sin. Bu tenzorlarni
ko’paytirish natijasida 3 – rang tenzor hosil bo’ladi.
Tenzorni yig’ishtirish. A R – rang tenzor bo’lsin. A tenzor koordinatalarini ikki indeksi bo’yicha qo‘shishga tenzorni yig’ishtirish deyiladi. R – rang tenzorni yig‘ishtirish natijasida R-2 rangli tenzor hosil bo’ladi. Tenzorni yig’ishtirish amali tenzorni Kroneker simvoliga ko‘paytirish va so‘ng ikki indeks bo‘yicha qo‘shish bilan bir xil bo’lgani uchun tenzorni yig’shtirish amalini tenzorni Kroneker belgisiga ko‘paytirishdan hosil qilsa bo’ladi.
Tenzorni yig’ishtirish. A R – rang tenzor bo’lsin. A tenzor koordinatalarini ikki indeksi bo’yicha qo‘shishga tenzorni yig’ishtirish deyiladi. R – rang tenzorni yig‘ishtirish natijasida R-2 rangli tenzor hosil bo’ladi. Tenzorni yig’ishtirish amali tenzorni Kroneker simvoliga ko‘paytirish va so‘ng ikki indeks bo‘yicha qo‘shish bilan bir xil bo’lgani uchun tenzorni yig’shtirish amalini tenzorni Kroneker belgisiga ko‘paytirishdan hosil qilsa bo’ladi.
Tenzomi yig’shtirish amalini qo’lash uchun tenzor rangi 2 va undan yuqori bo’lishi kerak. 2 – rang tenzomi yig’ishtirish amaliga tenzorning izi deyiladi va quyidagicha belgilanadi
Ikkinchi rang tenzorni qaraylik. Agar indekslar o‘rnini almash-
Ikkinchi rang tenzorni qaraylik. Agar indekslar o‘rnini almash-
masligi, ya’ni invariantligini bildiradi. Bu invariantlar quyidagichadir:
Invariantlarni tenzoming xos sonlari orqali ifo ifodalash mumkin: Bu invariantlardan foydalanib yangi invariantlami qurish mumkin:
Tenzor maydonlar uchun ham tenzorlar algebrasining barcha qoidalari saqlanadi.Dekart koordinatalar sistemasini almashtirishda radius vektorning almashish qoidasi har qanday vektoming almashish qoidasi kabi bo’ladi:
Koordinatalarn.
Koordinatalarn.
laming funksiyasi deb qarasak,
ya’ni
Bo’ladi. Teskari almashtirish matritsasi esa
Ko’rinishda bo’ladi
Tenzor maydonning sodda xossalarini keltiramiz.
Tenzor maydonning sodda xossalarini keltiramiz.
Tenzor maydonni skalyar argument bo’yicha differensiallash tenzor rangini o‘zgartirmaydi. Buning isboti xosila ta’rifidan kelib chiqadi
Tenzor maydonni radius vektor koordinatalari bo‘yicha bir marta differensiallashda uni rangi birga oshad