Ι. Обучение решению арифметических задач

Глава II. Приёмы обучения решению задач.


2.1. Последовательность обучения решению составных задач.
Первоначальное ознакомление учащихся 1 класса с простыми задачи и приемами их решения осуществляется по последовательным этапам. Сначала дети выполняют практические работа по заданию учителя: откладывают, например, 3палочки, прибавляют (придвигают) к ним 1палочку, отвечают на вопрос учителя, сколько стало палочек. Затем учитель знакомит детей со словом «задача», и на разборе конкретной задачи учащиеся под руководством учителя выделяют элементы задачи: числовые данные («что нам известно») и вопрос задачи («что надо узнать»), выполняют нужное
действие («решают задачу») и находят ответ задачи.
Далее дети решают задачи по картинкам, на которых иллюстрируются два числовых данных, которые при решении задачи закрываются, чтобы не дать учащимся возможности находить ответ пересчитыванием, а затем только одно данное, а другое называется.
После этого решаются задачи, содержание которых сообщает учитель, о хорошо известных детям предметах и явлениях, при этом дети воспроизводят в своем сознании образы предметов и взаимоотношения между ними.
Для лучшего осознания элементов каждой задачи на сложения и вычитание детям предлагаются задания: подобрать одно или оба недостающих данных к вопросу, придумать вопрос к указанным числовым данным.
Попутно с решением готовых задач, предлагаемых учителем, практикуется составление задач самими детьми по заданиям учителя и их последующее решение.
Выбор действия, необходимого для решения простейших задач на сложение и вычитание, дети производят на основе аналогии с операциями над множествами предметов, которые они выполняли при изучении сложения и вычитания чисел в пределах первого десятка
Для решения задачи на нахождение неизвестного слагаемого дети должны уже уметь применять рассуждение. Пусть надо узнать, сколько на столе зеленых кубиков, если известно, что всего зеленых кубиков вместе с красными 10, а красных-3. Если от всех десяти кубиков отнять 3 красных, останутся только зеленые. Дети от 10 отнимают 3, остается 7; стало быть, красных кубиков 7.
Для более глубокого усвоения особенности этого вида задач предлагают детям самим составить задачу на основе наблюдений за тем, как учитель берет несколько зеленых кубиков, прибавляет к ним 3 красных, сообщает общее число всех кубиков.
Задача на нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому имеют и другую разновидность, как видно из следующих примеров.
«Около школы росли тополя. Осенью посадили еще 7 тополей, и тогда их стало 20. Сколько тополей росло около школы до осенней посадки?»
«У Саши было 5 марок. Когда ему подарили еще несколько марок, у него стало всего 8 марок. Сколько подарили Саше?»
В этих задачах говорится об изменениях в числе вещей: к неизвестному числу вещей добавили столько-то, получилось указанное в задаче число вещей.
Ученик при разборе задачи должен осознать этот процесс изменения, который произошел в результате сложения двух чисел, и например, что когда отнимем от 20 тополей (столько их стало) 7 тополей (столько посадили, добавили), то узнаем, сколько тополей было раньше.
Рассмотрим подробнее, как подвести учащихся к решению задач указанного вида на основе использования связи между сложением и вычитанием.
Учащимся предлагается к 5 кружкам прибавить 2 треугольника, узнать, сколько сего фигур получится, и записать решение.
Учащиеся записывают:
5+2=7.
Учитель предлагает затем закрыть листком бумаги 5 кружков.
—Сколько фигур осталось? (2.)
—Как это записать? (7-5=2.)
—А если вы закроете 2 треугольника, сколько фигур останется? (5.)
—Запишите это.
На классной доске и в тетрадях учащихся получилась запись:
5+2=7
7-5=2
7-2=5
—Сравним полученные записи. Что мы находили в первом примере? (Сумму чисел 5 и 2 .)
—Как называются числа 5 и 2? (5-певое слагаемое, 2-второе слагаемое.)
—Посмотрите внимательно на второй пример и сравните его с первым. Во втором примере мы из суммы двух чисел вычли первое слагаемое и получили второе слагаемое. Сравните третий пример с первым, что мы сделали в третьем примере? (В третьем примере мы из суммы вычли второе слагаемое и получили первой слагаемое.)
Рассматривается ряд подобных примеров. Делается обобщение: если из суммы дух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое.
На следующем уроке учитель предлагает учащимся задачу: “К неизвестному числу прибавили 3 и получили 8. Найти неизвестное число”. Учащимся объясняется, что неизвестной число можно обозначить буквой х - «икс».
—По этой задаче - говорит учитель, - можно составить пример х+3=8 и прочитать его так: к неизвестному число прибавили 3 и получили 8.
—Что известно в этом примере? (Второй слагаемой и сумма.)
—Что неизвестно? (Первой слагаемой.)
—Сколько получил, когда к неизвестному числу прибавили 3?(8.)
—Положите на парту 8 треугольников. Как получилось число 8?(К неизвестному числу прибавили 3, и получил 8.)
—Отодвиньте эти 3 треугольника. Сколько же было сначала треугольников? (5)
—Как вы узнали? (Из 8 вычли 3.)
—Что мы узнали, из 8 вычитая 3? (Мы нашли первое слагаемое.)
—Как мы узнали неизвестное слагаемое? (Из суммы 8 вычли второе слагаемое 3.)
Учащимся показывается запись решения этого примера:
х+5=8
х=8-5
х=4
Для закрепления предлагались упражнения в различных формулировках.
К какому числу надо прибавить 8, чтобы получить 10?
Первое слагаемое 6, второе – неизвестно, сумма 9.Чему равно второе слагаемое?
Если к 4 прибавить неизвестное число, получится 7 . Чему равно неизвестное число?
После этого перешли к решению текстовых задач. Учащиеся
Должны уметь записать условие задачи уравнением и находить неизвестное на основе знания зависимости между суммой слагаемыми. Важно научить детей переводить конкретную жизненную ситуацию в план математических взаимосвязей.
Задача: «У Вовы в конверте лежало несколько звездочек (Вова у доски показывает ребятам конверт), он положил в конверт еще 4 звездочки (Вова отпускает в конверт 4 звездочки). Всего в конверте стало 9 звездочек. Сколько звездочек было в конверте сначала?
Учащиеся составляют краткую запись условия задачи:
Х  4

9

Далее переходим к составлению уравнения:
— Известно, сколько было звездочек? (Нет)
— Как обозначим неизвестное? (Буквой х.)
— Что сделал Вова? (Положил еще 4 звездочки.)
— Как это записать? (Нужно прибавить 4.)
— Всего в конверте стало x+4 звездочки. А сколько там звездочек? (9.)
— Как получили 9 звездочек? (К неизвестному числу звездочек прибавили 4 звездочки.)
— Значит, можем записать: х+4=9.
— Что известно в этом примере? (известно сумма и второе слагаемое.)
— Как найти неизвестное слагаемое? (Из суммы вычтем второе слагаемое и получим первое слагаемое.)
— Запишите этот пример и его решение:
Х+4=9
Х=9-4
Х=5
Ответ: 5 звездочек
Следует рассмотреть с детьми и таким задачи, в которых говорятся об изменении той или другой непрерывной величины. Вот образцы таких задач:
«К веревке длиной в несколько метров привязали еще 2метра, получилась веревка длиной в 6м. Какой длины была веревка сначала?» «К полоске бумаге длинной в 6см подклеили другую полоску так, что получилась полоска длиной в 10см. Какой длины полоску подклеили?»
К решению задач на увеличение числа на несколько единиц учитель подводит детей путем объяснения смысла выражения
«на 2 больше», «на 3 больше» и других подобных обозначающих «столько же еще 2», «столько же и еще 3» и т. п.
Чтобы подчеркнуть отличие задачи этого вида от задачи на нахождение сумы по вопросу «сколько всего?», можно использовать иллюстрацию для сравнения задач:
Задача 1.на стол поставили 4 белых кубика и 3 черных. Сколько всего белых и черных кубиков?
Задача 2. на стол поставили 4 белых кубика, черных кубиков на 3 больше. Сколько всего черных кубиков?
При решении задачи сложение применяется для того, чтобы узнать, сколько всего белых и черных кубиков в двух столбиках. При решении второй задачи сложением узнается число черных кубиков в одном втором столбике.
Однако наряду с такими задачами, в которых указано соотношение между двумя множествами предметов, есть задачи на увеличение между двумя множествами предметов, есть задачи на увеличение числа на несколько единиц, в которых дано соотношение между целым и его частью.
Вот образец такой задачи: «На пришкольном участке весной росло 12 кленов, а осенью стало на 3 клена больше. Сколько кленов стало на пришкольном участке?»
При решении этой задачи приходится узнавать, сколько стало вещей, когда произошли изменения в количестве вещей в той же самой совокупности. При разборе задачи учитель обращает внимание детей на отмеченные в задаче изменения.
Изменение может относиться и к размерам той или другой величины, что можно показать детям на такой, например, задаче: «Тополь был весной высотой 3м, а за лето стал на 1м выше. Какой высоты стал тополь?»
К задачам на увеличение числа на несколько единиц относится и такая разновидность, которая представлена задачей, в содержании которой речь идет о группах различных вещей: «Мальчик сделал к новогоднему празднику 12 флажков, а звездочек на 3 больше. Сколько звездочек сделал мальчик?»
При решении этой задачи применяется следующее рассуждение: мальчик сделал столько же звездочек, Сколько флажков, еще 3 звездочки. Это рассуждение можно отразить в записи решения задачи:
12+3=15(Зв.)
Задачи указанного вида могут затем предлагаться детям и в отвлеченной форме, например:

1. 
   одно число 9, другое на 3 больше. Найти второе число.
   
2. 
   Какое число больше восьми на 4?
   

Подход к объяснению решения задачи на уменьшение числа несколько единиц может быть различный. Возможно, подойти от рассмотрения предметов, количество которых стандартно. Например, игрушечная грузовая машина обычно имеет 4 колеса. Но можно показать детям такую же машину, у которой нет одного колеса (одно колесо сломалось), обратить внимание детей, что у второй машины не хватает одного колеса, или у нее 4 колеса без одного, или на одно колесо меньше, чем у обычной машины.
Возможно, идти путем противопоставления новой задачи на уменьшение числа на несколько единиц ранее известной на увеличение числа на несколько единиц, т. е. противоположной задачи. Например, если дети выполняли задания: нарисовать слева 3 елочки, а справа на 2 елочки больше, то про елочки, нарисованные слева, можно сказать, что их нарисовано на 2 меньше, чем справа.
Задачи на уменьшение числа на несколько единиц могут предлагаться в разновидностях, аналогичных разновидностям задач на увеличение на несколько единиц, и иметь конкретное или отвлеченное содержание.
При решении задач на нахождение разности учащиеся осмысливают некоторые признаки понятия «разность». Так как, требование найти разность двух чисел выражается вопросом «на сколько больше одно число, чем другое» или вопросом « на сколько второе число меньше первого» и каждый из вопросов влечет за собой для нахождения ответа вычитание, целесообразно рассматривать две задачи на нахождение разности с этими вопросами одну за другой в их сопоставлении.
Для лучшего понимания детьми способа решения задач на нахождение разности учитель ведет их от наглядного установления разности к ее вычислению.
Простые задачи, в которых отыскивается разность данных чисел, могут содержать требование найти разность численностей двух множеств каких-либо предметов (например, на сколько больше за лето прочитано книг одним учеником, чем другим), либо найти разность численности множество предметов и его правильной части (например, на сколько больше в книжке всех страниц, чем прочитанных учеником).
Процесс решения задачи на разностное сравнение численностей двух множества предметов заключается в том, чтобы свести это сравнение к сопоставлению численности целого и его части.
Пусть надо, рассматривая рисунок


 
узнать, на сколько больше треугольников, чем квадратов.
Ученик, решая эту задачу, отмечает какой-либо пометкой (например, подчеркиванием карандашом) столько треугольников, сколько изображено квадратов, и затем от числа всех треугольников (7) отнимает часть треугольников, равную числу квадратов (4). Таким образом, разностное сравнение двух качественно различных множества предметов сводится к сравнению численности целой совокупности однородных предметов и ее части. Использование наглядности необходимо для обоснования применения вычитания при решении этой задачи. Можно пояснить это так: « чтобы узнать, на сколько больше треугольников, чем квадратов, надо от всех треугольников отнять столько треугольников отнять столько треугольников, сколько нарисовано квадратов».
Найденная разность (3)показывает одновременно, что квадратов на 3 меньше, чем треугольников. Это можно наглядно показать, нарисовав карандашом или отметив черточками недостающее число квадратов, которое надо добавить к данному числу квадратов, чтобы квадратов стало столько же, сколько треугольников.
Опираясь на наглядное изображение различных предметов, ученики могут находить разность простым пересчетом предметов. Задача учителя заключает в том, чтобы повести учащихся к решению задач на нахождение разности путем выполнения вычитания над числами.
Такой же подход применяется и при разборе задач на разностное сравнение значений величин, например длин отрезков, полосок бумаги. Сначала учащиеся выполняют наглядное сравнение длины всей полоски и ее части, потом непосредственное сравнение длины одной полоски и другой путем прикладывания одной полоски к другой, затем измеряют длину каждой полоски и вычисляют разность чисел, выражающих длины полосок.
Исходя из указанных методических положений, можно отметить, следующий примерный путь ознакомления учащихся с задачами на разностное сравнение.