Ι. Обучение решению арифметических задач

Сравнение длин полосок (прямоугольников)
а) Сравнение длины всей полоски в ее части.
На классной доске прикреплена полоска белой бумаги длиной в 7дм, часть которой в 5дм закрашена зеленым карандашом.


 
Учитель спрашивает: «Что длиннее, вся полоска или ее закрашенная часть?) (Вся полоска длиннее, чем ее часть.)
«Покажите, на сколько вся полоска длиннее закрашенной части». (Ученики показывают.)
«Измерьте длину всей полоски и длину закрашенной части». (вызванный ученик измеряет.)
«Как узнать, на сколько вся полоска длиннее закрашенной части?» (От длины всей полоски отнять длину закрашенной части.)
Вызванный ученик записывает:
7-5=2(дм).
«Что показывает число 2дм?» (Число 2дмпоказывает, что вся полоска длиннее, чем закрашенная часть, на 2дм.)
«А что можно сказать про закрашенную часть по сравнению со всей полоской?».
Ученики самостоятельно выполняют аналогичную работу над розданными им полосками бумаги, каждая из которых длиной в 8см, закрашивают часть полоски (несколько сантиметров) и вычисляют, на сколько длиннее вся полоска, чем ее закрашенная часть.
Затем учащиеся самостоятельно решают задачу: «Весной елочка была высотой в 14см, а к осени высота ее стала 19см. На сколько сантиметров выше стала елочка?»
б) Сравнение длины полоски с длиной другой полоски.
На классной доске прикреплены две полоски: белая - длиной 9дм и красная - длиной 4дм.
Учитель спрашивает, как узнать, на сколько белая полоска длиннее красной.
«Покажите на сколько белая полоска длиннее красной». Вызванный ученик показывает оставшуюся часть белой полоски.
«Как по-другому, без наложения одной полоски на другую, узнать, на сколько белая полоска длиннее красной?». Вызванный ученик измеряет длину каждой полоски, записывает действие: 9-4=5дм.
Учитель спрашивает: «Что показывает число 5дм?» (Число 5дм показывает, что белая полоска длиннее красной на 5дм)
«А что можно сказать про красную полоску по сравнению с белой?»
Ученики выполняют самостоятельно работу по сравнению длин розданных им полосок: белой, длиной в 9см, и красной, длиной 5см.
Возможно, провести ознакомление учащихся с нахождением разности и в другом порядке: сначала ознакомить со сравнением целого и части на множестве предметов и длине отрезка, затем со сравнением двух множеств и длин двух отрезков.
После этого учащиеся упражняются в решении задач на нахождение разности по учебнику.
Полезно сопоставить задачи на нахождение разности по вопросу «на сколько больше?» с задачами на увеличение числа на несколько единиц, в которых разность является одним из данных. Выясняется, что в каждой задаче дано, что отыскивается, каким действием решается каждая задача.
Задачи на нахождение разности по вопросу «на сколько меньше?» с задачами на увеличение числа на несколько единиц.
Далее учащиеся усваивают решение простых задач на нахождение неизвестного уменьшаемого по вычитаемому и остатку и на отыскание неизвестного вычитаемого – по уменьшаемому и остатку.
Задачу на нахождение уменьшаемого можно предложить такую: «От полоски бумаги отрезали часть длиной в 6см. после этого осталась часть длиной в 4см. Какой длины было полоска?»
При решении задачи надо восстановить первоначальную длину полоски. Если выполнить это практически, то придется к оставшейся части приклеить отрезанную. Переводя это практическое действие в план вычислений, надо к 4см прибавить 6см, тогда узнаем первоначальную длину полоски. Здесь сложение применяется для восстановления первоначальной длины. Неизвестное уменьшаемое можно обозначить буквой Х, тогда задачу запишем так:
Решение: Х-6=4
Х=4+6
Х=10.
Для уяснения особенностей задач на нахождение не известного вычитаемого можно предложить решить такую задачу: «От полоски бумаги длиной в 10см отрезали часть в несколько сантиметров. После этого осталась часть полоски длиной в 4см. какова длина отрезанной части полоски?»
Для иллюстрации задачи сделаем чертеж:
4см
 
10см
Рассмотрение чертежа наглядно покажет, что надо от 10см отнять 4см, чтобы узнать длину отрезанной части.
Решение задачи можно записать так:
10-Х=4,
Х=10-4
Х=6.
Преодоление трудности решения задач на нахождение неизвестного вычитаемого связано с осознанием детьми того, что первоначально взятое число, из которого вычитают другое число, заключает в себе и вычитаемое, и остаток. Это можно показать детям наглядно с использованием, каких – либо предметов: положить на стол 8 кубиков, пусть дети пересчитают их, снять несколько кубиков так, чтобы осталось 3. Как узнать, сколько кубиков сняли?
Дети рассуждают: было 8 кубиков, 3 из них осталось, остальные сняли; чтобы узнать, сколько сняли, надо от 8 кубиков отнять 3 кубика; 8-3=5, значит, сняли 5 кубиков.
Более трудными являются те простые задачи, в условии которых заданная разность указывает, на сколько больше и меньше данное число, чем искомое. Для решения этих задач требуется предварительно переформулировать условие задачи. Прежде всего, необходимо разобрать подробно содержание одной из задач этой группы, сопроводив этот разбор рассмотрением соответствующей иллюстрации.
Учитель предлагает детям решить задачу: «Длина красной полоски 30см. Эта полоска длиннее белой на 10см. Какой длины белая полоска?»
Учитель прикрепляет к классной доске красную полоску длиной в 30см, записывая обозначение ее размера.
Учитель. Какова длина полоски?
Ученик. Длина красной полоски 30см.
Учитель. Что сказано про красную полоску?
Ученик. Красная полоска длиннее белой на 10см.
Учитель. Что можно сказать про белую полоску?
Ученик. Белая полоска короче красной на 10см.
Учитель. Как же узнать длину белой полоски?
Ученик. От 30см отнять 10см, остается 20см.
Учитель. Что означает число 20см?
Ученик. Длину белой полоски.
Ученик прикрепляет к классной доске белую полоску длиной в 20см и записывает решение задачи.
С использованием схематического рисунка разбирается задача: «Высота тополя 15м. Тополь на 5м выше березы. Какой высоты береза?»
После этого предлагаются две задачи:
«Длина одной грядки 10м. Эта грядка длиннее другой на 2м. Какой длины вторая грядка?»
«Высота нового дома 30м. Новый дом на 10м выше старого. Какой высоты старый дом?»
Учитель записывает текст задач на классной доске.
После прочтения текста задач учитель ставит вспомогательные вопросы: Какая грядка длиннее? Какая грядка короче? Какой дом выше? Какой дом ниже? Затем дети самостоятельно решают эти задачи.
Для лучшего понимания смысла выражения «больше на», учитель может использовать отвлеченные задачи:
1. 35 на 7 больше задуманного числа. Какое число задумано?
2. Задуманное число на 7 больше 35. какое число задумано?
3. 42 на 12 больше задуманного числа. Какое число задумано?
Объяснение решения задач, где выражение «меньше на» обозначает, что данное число на несколько единиц меньше искомого, можно провести по аналогии с выше изложенным.
После этого предлагается детям для самостоятельного решения задачи, содержащие выражения «больше на» и «меньше на» в разных значениях. Упражнения для самостоятельной работы дается сначала с вспомогательными вопросами, а потом и без них.
Простые задачи, решаемые умножением или делением, занимает большое место в программе ΙΙ класса.
Смысл деления по содержанию нелегко усваивается учащимися ввиду отвлеченного значения делителя, который является искомым при этом виде деления.
При объяснении решения задач на деление по содержанию учитель, опираясь на личный опыт детей, которые обычно понимают смысл выражения «молоко находится или содержится в банке», показывает, как узнать, сколько раз, например, по 2 стакана воды содержится в банке, вмещающей 6 стаканов воды, путем переливания воды из банка.
Затем решается задача: «На детское платье идет 2м сатина. Сколько таких платье можно сшить из 6м сатина?»
Будем от 6м отделять по 2м на каждое платье; платьев выйдет столько, сколько раз по 2м содержится в 6м, т. е. 3.

Учитель показывает образец записи решения этой задачи;

6:2=3. Ответ: 3 платья.
Или: 6:2=3 (платье).
Учитель обращает внимание детей на то, что сначала они узнали, сколько раз в 6м содержится по 2м, а именно 3 раза. Значит, столько сшили платьев, что и записываем в скобках.
Для того чтобы дети осознали, почему название предметов поставлено в скобках при записи результатов, учитель предлагает решить еще одну задачу; « Из 6м сатина сшили наволочки. На каждую наволочку пошло по 2м сатина.
Сколько наволочек сшили?»
При разборе решения этой задачи дети подмечают, что здесь приходится сначала узнать, сколько раз одно число содержится в другом, и результат получится «3 раза»
Но число 3 согласно условию задачи будет обозначать уже другие предметы-наволочки; это наименование и записываем в скобках при результате.
Чтобы решить задачу на увеличение числа в несколько раз, ученик должен понимать смысл выражения «в несколько раз больше»- как имеющего значения «несколько раз по стольку». Осознанию значения этих выражений помогают выполнение учащимися заданий практического характера.
1. Обведите карандашом на одной строчке 3 клетки, а на другой строчке- 4 раза по 3 клетки, т. е. в 4 раза больше клеток.

2. 
   Нарисуйте 3 квадратика, а кружков нарисуйте в 2 раза больше.
   

3. Начертите один отрезок длиной в 4см. Начертите другой отрезок в 3 раза длиннее.

4. 
   Начертите отрезок длиной в 3см. удлините его в 2 раза.
   

Задачи на увеличение числа несколько раз могут быть как с конкретным содержанием, так и с отвлеченным.
Задачи на увеличение числа несколько раз имеют несколько разновидностей, а именно: задачи, в которых требуется: а) найти число, обозначающее целое, в несколько раз большее его части; б) найти число, в несколько раз большее данного, обозначающего количество тех же предметов, которые обозначает и данное число; в) найти число, в несколько раз большее данного, обозначающее другие предметы, чем те, которые обозначает данное число, например: «В живом уголке было 2 кролика, а морских свинок в 3 раза больше. Сколько морских свинок было в живом уголке?»
При решении этой задачи ученику приходится
преодолевать дополнительную трудность, связанную с правильной постановкой наименований при числах.
Объяснение решения задач на увеличение числа несколько раз проводится на основе использования понятия «столько же». «В несколько раз больше» означает: «несколько раз по стольку». Использование такого объяснения помогает правильно поставить наименование чисел при решении рассматриваемой задачи . При этом можно рассуждать так:
«Морских свинок могло быть столько же, сколько кроликов, но их было 3 раза по стольку».
Отсюда решения:
2· 3=6(св.)
Для отыскания способа решения задач на уменьшение числа в несколько раз возможно объяснить значения выражения «в несколько раз меньше» как требование найти соответствующую часть данного числа. Задачи на уменьшение числа в несколько раз можно противопоставить уже известным детям задачам на увеличение числа в несколько раз, вводя эти задачи одну вслед за другой, противоположной ей. Сначала дети рассматривают ранее выполненные практические задания: на одной строчке обведены карандашом 3 клетки, а на другой в 4 раза больше, т. е. 12 клеток. Затем выполняют новые задания практического характера:

1. 
   Обведите карандашом на одной строчке 12 клеток, а на другой в 4 раза меньше.
   
2. 
   Нарисуйте 6 кружков, а квадратиков нарисуйте в 2 раза меньше.
   
3. 
   Начертите один отрезок длиной в 12см, а другой в 3 раза короче.
   
4. 
   Вырежьте полоску шириной в1см, а длиной в 8см. Укоротите ее 2 раза.
   

Далее детям предлагают для решения сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно различные задачи на уменьшение числа в несколько раз, перемежая их с задачами на увеличение числа в несколько раз. Разновидности этих задач аналогичны разновидностям задач на увеличение числа в несколько раз.
Задачи на кратное сравнение двух чисел по способу решения примыкают к задачам на деление по содержанию.
Решая задачу, в которой требуется узнать, сколько пачек тетрадей получится, если 24 тетради заложить по 6 тетрадей, ученик делит 24 тетради по 6 тетрадей и узнает, во сколько раз24 тетради больше 6 тетрадей. Поэтому при объяснении способа решения задач на кратное сравнение чисел учитель предварительно предлагает учащимся решить несколько задач на деление по содержанию и воспроизвести применяемое при этом рассуждение.
Простые задачи, в которых отыскивается отношение, показывающее, во сколько раз одно число больше или меньше другого, могут содержать требование найти отношение численностей двух множеств каких-либо предметов либо найти отношение численности целой совокупности предметов и ее части.
Решение задачи на нахождение отношения численностей дух множества предметов сводится к отысканию отношения между численностью множества и его правильной части.
Пусть надо узнать, во сколько раз больше квадратов, чем треугольников на рисунке:


 

Решающий эту задачу отмечает, например, точками по 2 квадрата, а затем отделяет по 2 квадрата и подсчитывает, сколько раз в 6 квадратах содержится по 2 квадрата, и таким образом узнает, во сколько раз целое больше его части. Полученное число 3 показывает, во сколько раз квадратов больше, чем треугольников, и одновременно обозначает, что треугольников в 3 раза меньше, чем квадратов.

Примененное при решении задачи рассуждение показывает, что задачи на отыскание отношения сходны с задачами на деление по содержанию, отличаясь от них только вопросом: вместо вопроса « сколько раз содержится?» ставится вопрос « во сколько раз больше?»
В содержание задач на отыскание отношения могут входить не только числа, обозначающие численности множеств, но и числа именованные, которые обозначают численные значения какой-либо величины.
Можно наметить следующий путь ознакомления учащихся с решением задач, которых требуется найти отношение двух чисел, т. е. узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого числа.