Хосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли оддий дифференциал тенгламалар режа: Кириш I боб мавжудлик ва ягоналик теоремалари

ХОСИЛАГА НИСБАТАН ЕЧИЛГАН БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ
ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
Режа:
Кириш
I БОБ Мавжудлик ва ягоналик теоремалари
1-§. Пикар теоремаси
2-§. Вектор ёзувли Коши масаласи
Хулоса
Фойдаланилган адабиётлар


I БОБ
МАВЖУДЛИК ВА ЯГОНАЛИК ТЕОРЕМАЛАРИ
1-§. Пикар теоремаси
Ушбу
, (1)
Коши масаласини ўрганамиз. Қандай шартлар бажарилганда Коши маса-ласининг ечими мавжуд ва ягона бўлиши бизни қизиқтиради.
Агар функция , тўғри тўрт-бурчакда аниқланган бўлиб, шундай мусбат сон топилсаки, , ва тенгсизликларни қаноатлантирувчи ихтиёрий ва лар учун
(2)
тенгсизлик бажарилса, у ҳолда функция T тўғри тўртбурчакда ўзгарувчи бўйича Липшиц шартини қаноатлантиради, дейилади.
Пикар теоремаси. Берилган функция T тўғри тўртбурчакда аниқланган ва узлуксиз бўлиб, ўзгарувчи бўйича Липшиц шартини қаноатлантирсин ҳамда
,
бўлсин. У ҳолда Коши масаласи оралиқда ягона ечимга эга.
Пикар теоремасининг шартлари бажарилганда Коши масаласининг ечими ушбу
(3)
рекуррент муносабат билан аниқланадиган текис яқинлашувчи функциялар кетма-кетлигининг даги лимити сифатида топилиши мумкин.
Коши масаласининг аниқ ечимини унинг кўринишдаги -яқинлашишига алмаштиришдаги хатолик
,
тенгсизлик билан аниқланади.
Пеано теоремаси. Агар функция T тўртбурчакда аниқланган ва узлуксиз бўлса, у ҳолда Коши масаласи оралиқда камида битта ечимга эга бўлади.
Ечимни давом эттириш. Кўп ҳолларда Коши масаласининг ечими юқоридаги теоремаларда кўрсатилган оралиқдан кенгроқ оралиқда ҳам мавжуд бўлади.
Агар Пикар теоремасининг шартлари ёпиқ соҳада бажарилса, у ҳолда (1) масаланинг ечимини шу соҳанинг чегарасигача давом эттириш мумкин. Қуйида шунга оид баъзи фактларни келтирамиз.
Агар функция полосада аниқланган ва узлуксиз бўлиб, тенгсизликни қаноатлантирса (бу ерда ва - узлуксиз функциялар), у ҳолда (1) масаланинг ҳар қандай ечимини бутун интервалга давом эттириш мумкин.
Коши масаласининг ечими мавжуд бўладиган интервалнинг катталиги ҳақидаги маълумот қуйидаги тасдиқда ўз аксини топган.
Бихари леммаси. , , функциялар номанфий ва узлуксиз ҳамда камаймайдиган ва да бўлиб,
, (5)
тенгсизлик ўринли бўлсин. У ҳолда барча лар учун
(6)
тенгсизлик ўринли бўлади, бу ерда
(7)
ва функция функциянинг аниқланиш соҳасига тегишли.