Хосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли оддий дифференциал тенгламалар режа: Кириш I боб мавжудлик ва ягоналик теоремалари

7. кўринишдаги тенглама ечимининг ягоналик шартлари ёрдамида тенгламани тадқиқ қилинг.
◄Аввал
(15)
кўринишдаги тенгламалар учун ягоналик шартларини ўрганамиз.
текисликда бирор нуқтани олайлик. Агар бўлса, у ҳолда (15) тенгламанинг ўнг томонидан Липшиц шартини қаноатланти-риш талаб этилмаса ҳам бу нуқта орқали ягона интеграл эгри чизиқ ўтади. Агар бирор ўзгармас да бўлса, у ҳолда ечим
(16)
кўринишда бўлади. (16) ечимнинг нуқталарида қанақа шартлар бажарил-ганда ягоналик ўринли бўлишини текширамиз.
да бошланғич қийматларни олиб, да деб фараз қилайлик ( нинг ўрнига ни олиб бўлган ҳолни, нинг ўрнига ни олиб эса бўлган ҳолни ҳосил қилиш мумкин). Биз ечимнинг ягоналигини фақат полосадаги интеграл эгри чизиқларга нисбатангина ўрганамиз. нуқта орқали ўтувчи интеграл эгри чизиқ қуйидаги формула ёрдамида топилади:
. (17)
(17) формулада ни га интилтирамиз; ўнг томондаги интеграл хосмас интеграл бўлади. Бу ерда иккита ҳол бўлиши мумкин.
1-ҳол. интеграл узоқлашувчи бўлсин. Бу - миқдор га яқин-лашганда ўзгарувчи чексиз катталашади, деганидир. ўзгарувчи чек-сиз катталашганда интеграл эгри чизиқ тўғри чизиққа асимптоик яқинлашади ва у нинг ҳеч бир чекли қийматида бу тўғри чизиқ билан умумий нуқтага эга бўлмайди. полосада ётган ҳамма интеграл эгри чизиқлар (17) эгри чизиқдан ўққа параллел кўчириш ёрдамида ҳосил қилинганлиги учун бу чизиқларнинг ҳеч бири тўғри чизиқ билан умумий нуқтага эга бўлмайди. Шунга асосан, ечимнинг ҳамма нуқталарида ягоналик бажарилади. Демак, интеграл узоқлашувчи бўлса, у ҳолда ечим ягона ечим бўлади.
2-ҳол. - хосмас интеграл яқинлашувчи бўлсин. Бу ҳолда қийматда (17) эгри чизиқ ечимда ётган коорди-натали нуқтадан ўтади. Бошланғич нуқтани ўзгартириб (яъни (17) эгри чизиқни ўққа нисбатан параллел кўчириб) нуқтани тўғри чизиқнинг ихтиёрий нуқтасига жойлаштиришимиз мумкин. Шунга асосан, тўғри чизиқнинг бирорта ҳам нуқтасида ягоналик бажарилмайди. Демак, интеграл яқинлашувчи бўлса, у ҳолда ечим ягона эмас.
Биз қараётган тенгламада ва . функция да узлуксиз. Қуйидаги
( ) ва ( )
хосмас интеграллар узоқлашувчи бўлганлиги учун ярим текислик-нинг ҳар бир нуқтаси орқали берилган дифференциал тенгламанинг ягона интеграл эгри чизиғи ўтади.►
8. Бошланғич шарт қандай бўлганда

дифференциал тенгламалар системаси ягона ечимга эга бўлади?
◄Тенгламалар системаси учун Коши масаласи ечимининг мавжуд ва ягоналиги тўғрисидаги тасдиқлардан фойдаланамиз.
Биз қараётган системада функция-лар ва уларнинг хусусий ҳосила-лари бўлган соҳада узлуксиз бўлганлиги учун ҳар бир нуқта (бу ерда ) орқали ягона ечим ўта-ди. Шундай қилиб, берилган тенгламалар системаси ягона ечимга эга бўлиши учун шартлар бажарилиши керак экан.►