Hosila va uning tatbiqlari

INTEGRALLAR JADVALI. INTEGRALLASHNING
ENG SODDA QOIDALARI
Integrallar jadvalini hosilalar jadvali yordamida tuzish mumkin
Biror X oraliqda aniqlangan F(x) funksiya f (x) funksiyaning boshlang‘ ich funksiyasi bo‘lishi uchun ikkala F(x) va f (x) funksiya ham ayni shu X oraliqda aniqlangan bo‘lishi kerak.
Differensiyalash qoidalaridan foydalanib, integrallash qoidalarini bayon qilish mumkin.
F(x) va G(x) funksiyalar biror oraliqda, mos ravishda, f (x) va g(x) funksiyalarning boshlang‘ich funksiyalari bo‘lsin. Ushbu qoidalar o‘rinlidir:
1-qoida: a·F(x) funksiya a·f (x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, ya’ni
∫ a f (x)dx = a F(x) +C.
2-qoida: F(x)±G(x) funksiya f ( x ) ±g( x ) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, ya’ni:
∫(f(x) ± g(x))dx=∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx =F(x) ± G(x)+C.
3-qoida*. Agar biror X oraliqda f (x) va g(x) funksiyalar uzluksiz f (x) va g'(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda
∫ f (x)g '(x)dx = f (x)g(x) − ∫ g(x) f '(x)dx (1)
formula o‘rinlidir. Bu formula bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi.


I NTEGRALLAR JADVALI

ANIQ INTEGRAL.NYUTON–LEYBNIS FORMULASI

2-rasmda tasvirlangan shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Bu shakl yuqoridan y = f (x) funksiyaning grafigi bilan, quyidan [a, b] kesma bilan, yon tomonlardan esa x=a, x=b to‘g‘ri chiziqlarning kesmalari bilan chegaralangan. [a; b] kesma egri chiziqli trepetsiyaning

asosi deyiladi. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini qaysi formulaga ko‘ra hisoblaymiz,
degan savol tug‘iladi. Bu yuzni S deb belgilaylik. S yuzni f (x) funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi yordamida hisoblash mumkin ekan. Shunga oid mulohazalarni keltiramiz.
[a; x] asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini S(x) deb belgilaymiz (3-rasm), bunda x shu
[a; b] kesmadagi istalgan nuqta: x=a bo‘lganda [a; x] kesma nuqtaga aylanadi, shuning uchun S(a)=0; x=b da S(b) = S. S (x) ni f (x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishini, ya’ni S ′(x) = f (x) ekanini ko‘rsatamiz.




S(x+h) – S(x) ayirmani ko‘raylik, bunda h>0 (h<0 hol ham xuddi shunday ko‘riladi). Bu ayirma asosi [ x ; x+h] bo‘lgan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (4-rasm). Agar h son kichik bo‘lsa, u holda bu yuz taqriban f (x) ·h ga teng, ya’ni S(x+h) – S(x) ≈ f (x) ·h. Demak ,
Bu taqribiy tenglikning chap qismi h→0 da hosilaning ta‘rifiga ko‘ra S′(x) ga intiladi. Shuning uchun h→0 da S ′ ( x)=f ( x ) tenglik hosil bo‘ladi. Demak, S(x) yuz f (x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiyasi ekan.
Boshlang‘ich funksiya S(x) dan ixtiyoriy boshqa boshlang‘ich F(x) funksiya o‘zgarmas
songa farq qiladi, ya’ni F( x )=S( x )+C. Bu tenglikdan x=a da F(a) = S(a)+C va S(a) = 0 bo‘lgani uchun C=F(a). U holda (1) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: S(x)=F(x)–F(a). Bundan x=b da S(b)=F(b)–F(a) ekanini topamiz.
Demak, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini (2-rasm) quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: S=F(b)–F(a), (2) bunda F(x) – berilgan f (x) funksiyaning istalgan boshlang‘ich funksiyasi. Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash f (x) funksiyaning F(x) boshlang‘ich funksiyasini topishga, ya’ni f(x) funksiyani integrallashga keltiriladi.
F(b) – F(a) ayirma f (x) funksiyaning [a; b] kesmadagi aniq integrali
deyiladi va bunday belgilanadi:

(o‘qilishi: “a dan b gacha integral ef iks de iks“), ya’ni

(3) formula Nyuton–Leybnis formulasi deb ataladi. (2) va (3) formulaga muvofiq: