Hosila va uning tatbiqlari

HOSILA YORDAMIDA MODELLASHTIRISH
1-masala. Har bir bakteriya ma’lum vaqtdan (bir necha soat yoki minutlardan) so‘ng ikkiga bo‘linadi va bakteriyalar soni ikki karra ortadi. Navbatdagi vaqtdan so‘ng mazkur ikkita bakteriya ham ikkiga bo‘linadi va populatsiya miqdori (bakteriyalar umumiy soni) yana
ikki karra ortadi... Bu ko‘payish jarayoni qulay (populatsiya uchun zarur resurslar, joy, oziqa, suv, energiya va hokazolar yetarli bo‘lgan) sharoitlarda davom etaveradi, deylik. Bakteriyalarning ko‘payish tezligi bakteriyalar umumiy soniga proporsional deb faraz qilaylik. Bakteriyalar populatsiyasining soni ixtiyoriy t vaqtga nisbatan qanday o‘zgaradi?
b(t) deb t vaqt oralig‘idagi bakteriyalar populatsiyasining umumiy
sonini belgilaylik. Hosilaning ma’nosiga ko‘ra, bakteriyalar ko‘payish tezligi b′(t) ga teng.
Farazimizga ko‘ra, ixtiyoriy t vaqtda b′(t) miqdor b(t) miqdorga
proporsional, ya’ni b′(t)=kb(t) (1)
munosabat o‘rinli. Bu yerda k – proporsionallik koeffitsiyenti.
b₀ = b(0) – boshlang‘ich t = 0 vaqtdagi populatsiya soni bo‘lsin. Ravshanki, b(t)=b0ekt funksiya (1) ni qanoatlantiradi. Chindan ham, b′(t)=(b0ekt)′=kb0ekt=kb(t). Dastlab 10 million bakteriya bo‘lsa (b0=10 mln), bunday bakteriyalar soni bir soatdan so‘ng b(1)=10e k=20
( mln) ga teng bo‘ladi, ya’ni ek=2. Bundan k = ln 2 ga ega bo‘lamiz. t vaqt oralig‘idagi bakteriyalar populatsiyasining sonini topaylik: b( t )=10e ^(ln2)t=10·2^t (mln).


BOSHLANG‘ICH FUNKSIYA VA ANIQMAS
INTEGRAL TUSHUNCHALARI
Agar nuqta harakat boshlanganidan boshlab t vaqt mobaynida s(t) masofani o‘tgan bo‘lsa, uning oniy tezligi s(t) funksiyaning hosilasiga teng ekanini bilasiz: v(t)=s'(t). Amaliyotda teskari masala: nuqtaning berilgan harakat tezligi v(t) bo‘yicha uning bosib o‘tgan yo‘li s(t) ni topish masalasi ham uchraydi. Shunday s(t) funksiyani topish kerakki, uning hosilasi v(t)
bo‘lsin. Agar s'(t)=v(t) bo‘lsa, s(t) funksiya v(t) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi. Umuman, shunday ta’rif kiritish mumkin:
Agar (a; b) ga tegishli ixtiyoriy x uchun F′(x)=f (x) bo‘lsa, F(x) funksiya (a; b) oraliqda f (x) ning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Agar F(x) funksiya f(x) ning biror oraliqlari boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, f(x) funksiyaning barcha boshlang‘ichlari F(x)+C (C – ixtiyoriy o‘zgarmas son) ko‘rinishida yoziladi.
F(x)+C ko‘rinishidagi barcha funksiyalar to‘plami f(x) ning aniqmas
integrali deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak,
∫ – integral belgisi, f (x) – integral ostidagi funksiya, f (x)dx esa integral ostidagi ifoda deyiladi.