Gurux uchun matematika fanidan yakuniy

3. Minorlarni hisoblash usuli bilan matritsalar rangini aniqlash. Matritsalar ustida amallar

n-tartibli (n2) determinantning a_ij elementining M_ij minori deb, n-chi tartibli determinantning a_ij elementi turgan satr va ustunni o’chirishdan keyin qolgan n-1 tartibli determinantga aytiladi. va a_ij elementning algebraik to’ldiruvchisi deb
A_ij=(-1)^i+j M_ij ga
aytiladi.
Masalan


determinant a₂₃ element minori
.
ga teng bo’lib, uning algebraik to’ldiruvchisi A₂₃ = -M₂₃.■ Biz husuiy holda 3-chi tartibli matritsani qaraymiz va uning rangini minorlarini hisoblash usuli bilan topamiz.

Misol. Minorni hisoblash yo’li bilan ushbu matritsa rangini toping.

Yechish. Matritsaning birinchi va ikkinchi tartibli determinantlarining qiymatlari noldan farqli ekanligi ko’rinib to’ribdi. Shuning uchun uchinchi tartibli determinantni hisoblaymiz:

.
To’rtinchi tartibli determinant nolga teng, chunki to’rtinchi satr nollardan iborat. Matritsa rangi
Misol. Minorlarni hisoblash usuli bilan matritsiyaning rangini t0ping.

Echish; Matritsaning determinantini yozamiz
d=
= =3.(-1).(-10)+2.(-3).3+(-5).3.5-((-5).(-1). 3+2.3. (-10) +
(-3)5)=30-18-75-15+60+45=135-108=27 .
Demak 3-chi tsrtibli minor o-dan farqli qolgan 4-chi va hokoza minorlar nolga teng. Matritsa rangi rang(A)=3
Misol.
= matritsaga teskari matritsani toping
matritsaga teskari maritsa mavjud bo’lishi uchun shart bajarilishi zarur. Determinantni hisoblaymiz.

Demak, teskari matritsa mavjud. Uni toppish uchun algebraik to’ldiruvchi

formulasidan foydalanamiz.

Demak, birinchi satr va birinchi ustun elementlarni o’chirib, qolgan minorni hisobladik. Qolgan hisoblashlarni ham xuddi shunday bajaramiz:



transponerlangan matritsani tuzamiz
.
Teskari matritsa

boladi .
Matritsalar ustida qo’shish, matritsalarni biror haqiqiy songa ko’paytirish hamda matritsani matritsaga ko’paytirish kabi amallarni bajarish mumkin.
Qo’shish va ayirish. Berilgan ikkita A va B matritsalarning yig’indisi(ayirmasi) deb,shu matritsalarning mos elementlari yig’in-disidan(ayirmasidan) iborat bo’lgan С matritsaga aytiladi, ya’ni: C=A B= = .
Matritsani songa ko’paytirish. Buning uchun matritsaning har bir elementi shu songa ko’paytiriladi, masalan, p = .


Matritsani matritsaga ko’paytirish. Buning uchun A-matritsaning har bir elementini B- matritsaning har bir elementiga ustun yoki satr elementlari bo’yicha ko’paytirilib, yig’indi ustun yoki satr qilib yoziladi.
Eslatma: Matritsani matritsaga ko’paytirishda o’ngdan va chapdan
ko’paytirish hamma vaqt o’rinli emas, yani AB BA.
Misol. Ushbu matritsalar ko’paytmasini toping.
va
Yechish. Matritsani matritsaga ko’paytirish uchun birinchi matritsaning satr elementlarini ikkinchi matritsaning mos ustun elementlariga ko’paytirib, qo’shamiz. Biz satrni ustunga ko’paytirib, satr qilib yozamiz.