Guruh talabasi Abdulazizova Xurshida Xasanjon qizining ”Funksional qatorlar” mavzusidagi kurs ishi

1-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida tekshiring.
Yechilishi: Shartga asosan

Demak,
Ammo berilgan qator garmonik qator bo`lganligi sababli u uzoqlashuvchidir.
2-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida tekshiring.
Yechilishi: Berilganlarga ko`ra , bundan
U holda,
.
Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi ekan.
3–misol. qatorni tekshiring
Yechilishi: Shartga asosan

va
.
U holda,
.
Dalamber alomatiga asosan berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

3. Koshi alomati
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun har qanday son uchun shunday N nomer mavjud bo`lib, barcha n>N lar va p≥1 da

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Qatorning bunday shartiga Koshi alomati yoki Koshi kriteriyasi deyiladi. Bunda p=1 da qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun shartning bajarilishi zaruriydir. Bu esa

ni anglatadi. Demak, qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun uning nomeri cheksiz oshishi bilan qatorning umumiy hadi nolga intilishi zarur. Ammo bu shart qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun yetarli bo`la olmaydi. Bo`nga quyidagi garmonik qator misol bo`la oladi:

Bunda n→∞ da bo`ladi, lekin garmonik qator Koshi alomatini qanoatlantirmaydi. Shuning uchun u yaqinlashuvchi bo`la olmaydi, chunki

Bundan ko`rinadaki, < da p = n bo`ladi. U holda, garmonik qator uchun quyidagi tengsizlik n qanday bo`lishidan qat`iy nazar o`rinli bo`lmaydi:

Demak, garmonik qatorda har bir son uchun Koshi shartidagi N nomer topilavermaydi. Shuning uchun ham garmonik qator uzoqlashuvchi bo`ladi, chunki

shart faqatgina zaruriy shart bo`lib qoladi, ammo qator yaqinlashishining yetarli sharti bo`la olmaydi.