Guruh talabasi Abdulazizova Xurshida Xasanjon qizining ”Funksional qatorlar” mavzusidagi kurs ishi

2 – Tеorеma (Koshi teoremasi). Ushbu

qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, son olinganda ham shunday natural n₀ son topilib, ва bo’lganda

tеngsizlik bajarilishi zarur va еtarli.
Xususan, (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa,

bo’lib,

bo’ladi. Bu (1) qator yaqinlashuvchiligining zaruriy shartini ifodalaydi.
Misol. Ushbu

qatorni yaqinlashuvchilikka tеkshiring.
Bu qatorning umumiy hadi

bo’ladi. Ma'lumki

qatorlar yaqinlashuvchi. 2-tеorеmadan foydalanib bеrilgan qatorlar yaqinlashuvchi bo’lishini topamiz.

2. Qator yaqinlashishining yetarli sharti
Teorema. va qatorlar berilgan bo`lib, mavjud bo`lgan barcha n≥N lar uchun 0≤a_n≤b_n shart bajarilsin. U holda, agar qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi va aksincha, qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
Isboti. Oldingi mavzudan ma`lumki, qator yaqinlashuvchi bo`lsa, uning qoldig`i ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Aytaylik, bo`lsin. U holda, n ≥ N lar uchun quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:

Bundan ko`rinadiki, qatorning xususiy yig`indilari ketma–ket chegaralangan hamda barcha k ≥ N lar uchun a_k ≥0 bo`lganligi sababli, oldingi mavzudagi 2–teore-maga asosan qator yaqinlashuvchi bo`ladi. U holda, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Teorema isbot bo`ldi.
Misol. Quyidagi qator yaqinlashishini taqqoslash teoremasi yordamida tekshiring:

Yechilishi: Ma`lumki, barcha n lar uchun qator yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki nisbat 0 ≤ ≤ 1 da joylashgan. U holda, taqqoslash teoremasiga asosan istalgan X€R uchun berilgan qator yaqinlashuvchidir.
Lemma. Hadlari musbat bo`lgan qator berilgan bo`lsin. U holda, shunday q mavjud bo`lsaki, barcha n lar uchun quyidagi
(1)
tengsizlik o`rinli bo`lsa, qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Agar n lar uchun
(2)
bo`lsa, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Isboti: Agar (1) – shart bajarilsa,