Guruh talabasi Abdulazizova Xurshida Xasanjon qizining ”Funksional qatorlar” mavzusidagi kurs ishi

a_n+1≤q a_n+1≤ q²a_n-1≤…≤a₁qⁿ (3)
bajariladi. U holda, barcha n lar uchun
a_n≤ a₁q^n-1 (4)
o`rinli bo`ladi. 0bo`lganda qator yaqinlashuvchi bo`lganligi uchun taqqoslash teoremasiga asosan berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak, lemmaning birinchi qismi isbot bo`ldi.
Agarda shart bajarilsa,
a_n-1≥a_n≥…> a₁ (5)
bo`ladi. Bunda barcha n lar uchun a<sub>n</sub>≥a<sub>1</sub>≥0 o`rinlidir. Bu holda, qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajrarilmaydi. Demak, qator uzoqlashuvchi bo`ladi. Lemmaning ikkinchi qismi ham isbot bo`ldi.

2. Dalamber alomati
Teorema. Agar a_n hadlari musbat bo`lgan qator uchun quyidagi
(6)
shart bajarilsa, q < 1 bo`lganda qator yaqinlashuvchi, q1 bo`lganda esa qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Isboti: Ketma – ketlik limiti ta`rifidan ma`lumki, har qanday son uchun shunday N mavjud bo`ladiki, uning uchun barcha n ≥ N larda

tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Agar q<1 bo`lsa, ni q+ <1 bo`ladigan qilib tanlab, barcha
n ≥ N lar uchun

ni hosil qilamiz. Bundan ko`rinadiki, berilgan qatorning N – qoldig`i lemmaning (1) shartini qanoatlantiradi. Demak, qator yaqinlashuvchi ekan.
Agar q>1 bo`lsa, ni q– >1 ko`rinshida tanlab, barcha n≥N lar uchun

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu holda qatorning N–qoldig`i lemmaning (2) – shartini qanoatlantiradi. Demak, qator uzoqlashuvchi bo`ladi. Teorema isbot bo`ldi.