Геометрические построения на плоскости

Глава не 3.Построения не иными не инструментами


1. не Построения не одним не циркулем. не Во не многих не случаях не построения, не проводимые не циркулем, не оказываются не точнее, не чем не построения, не проводимые не линейкой.
Итальянский не учений не Л. не Маскерони не (1750-1800) не и не датский не ученый не Г.Мор не (1640-1697) не исследовали не конструктивные не возможности не циркуля не и не доказали не следующую не теорему.
Теорема не (Мора-Маскерони). не Любая не геометрическая не задача не на не построение не фигуры не из не конечного не числа не точек, не разрешимая не циркулем не и не линейкой не может не быть не решена не при не наличии не только не циркуля.
Пояснения: не 1) не имеется не в не виду, не что не фигура не состоит не из не конечного не числа не точек, не окружностей, не отрезков, не лучей не прямых; не 2) не циркулем не конечно, не нельзя не построить не прямую, не отрезок, не луч, не здесь не имеется не в не виду, не что не циркулем не можно не сделать не их не известными не (прямая не известна, не если не известны не две не ее не точки; не отрезок не известен, не если не известны не два не его не конца; не луч не известен, не если не известна не начальная не точка не и не точка, не через не которую не проходит не луч).
Доказательство не опускаем.
2. не Построения не одной не линейкой.
Построения не одной не линейкой не исключительно не ограничены. не Например, не отрезок не нельзя не разделить не пополам. не Но не если не на не плоскости не задана не окружность, не возможности не увеличиваются.
Справедлива не теорема. не Всякая не геометрическая не задача не на не построение не фигуры, не состоящей не из не конечного не числа не точек, не разрешимая не циркулем не и не линейкой, не может не быть не решена не одной не линейкой, не если не на не плоскости не построена не окружность не и не отмечен не ее не центр не (т.е. не воли не воспользоваться не циркулем не один не раз). не Это не теорема не Штейнера, не иногда не называют не ее не теоремой не Понселе-Штейнера.
3. не Построения не двусторонней не линейкой
Пример. не Разделить не данный не угол не пополам.


не не не (Рис.16)

Проводим не параллели, не ОС не - не биссектриса не

Оказывается, не справедлива не теорема
Всякая не геометрическая не фигура, не состоящая не из не конечного не числа не точек, не которая не может не быть не построена не циркулем не и не линейкой, не может не быть не построена не только не двусторонней не линейкой.
4. не Построения не с не помощью не прямого не угла.
Пример. не Построить не центр не начерченной не окружности. не Всякая не геометрическая не фигура, не состоящая не из не конечного не числа не точек, не которая не может не быть не построена не циркулем не и не линейкой, не может не быть не построена не только не прямым не углом. не Это не же не верно не для не любого не угла.

Пример не 2. не Дан не ΔАВС; не требуется не построить не три не окружности не так, не чтобы не каждая не из не них не касалась не двух не других не окружностей не и не двух не сторон не треугольника не (задача не Мальфатти). не Считаем не задачу не решенной не (фиг. не 1). не Пусть не точка не О не будет не центром не вписанной не в не треугольник не окружности не (радиуса не r). не Радиусы не кругов не К не и не L не обозначим не соответственно не через не r₁ не и не r₂. не Из не точек не К, не О, не L не опустим не перпендикуляры не на не сторону не АВ не и не таким не путем не построим не точки не D, не Е, не F. не Положим не AE не = не s, не BE не = не t, не AD не = не x, не BF не = не y.

(Рис. не 17)

Если не мы не проведем не KG не || не AB, не то не

LG не = не r₂ не – не r₁ не и не KG не = не

Из не подобия не 7) не треугольников не ADK не и не AEO не следует, не что

аналогично не этому не и не , не что не вытекает не из не подобия не треугольников не BFL не и не ВЕО.
AB не = не AD не + не DF не + не FB,
следовательно:
= не

или не (подставляя не вместо не r_{1 не} и не r₂ не полученные не для не них не выражения)

= не (1)

Если не опустим не из не точек не L, не М,О не перпендикуляры не на не сторону не ВС не и не положим не РС не = не и не и не QC не = не z, не то не получится не равенство

2) не = не t не + не u;

аналогично не мы не получим не равенство не и не для не третьей не стороны не :

3) не = не u не + не s.

Таким не образом, не мы не имеем не три не уравнения не для не определения не трех не неизвестных не х, не у, не z.
Мальфатти не сообщает не решения не этих не трех не уравнений,:

Если не подставить не эти не значения не в не вышеприведенные не уравнения, не то не они не удовлетворят не последним. не Путь, не которым не Мальфатти не нашел не решения, не чрезвычайно не сложен, не как не он не сам не указывает.

Геометрическое не же не построение не величин не х, не у, не z не представляется не чрезвычайно не простым, не ибо

вследствие не чего не отрезки не эти, не равно не как не и не отрезки не s, не t, не r, не u, не r, не легко не могут не быть не построены.

Если не же не теперь не построить не выражение



x не = не ОА не — не m, не у не = не ОБ не — не m,
z не = не OC не - не m не (фиг. не 2).

Пример не 3. не Даны не три не окружности не K₁, не K₂, не К₃, не коих не центры не лежат не на не одной не прямой; не радиус не каждой не из не окружностей не К₁, не К₂ не равен не r₂. не Последние не две не окружности не имеют не одно не и не то не же не центральное не расстояние не а не от не окружности не К₁{r₁). не Требуется не построить не все не окружности, не которые не касаются не трех не данных не (Рис.е 18).

(Рис.18)

Для не того, не чтобы не решить не эту не задачу не вычислением, не мы не кладем не в не основание не прямоугольную не систему не координат. не При не этом не уравнения не данных не окружностей не таковы:

К₁ не … не х²+у² не = не ,

K₂ не … не (x не - не a)² не + не y² не = не
K₃ не … не (x не + не a)² не + не y² не = не

Уравнение не же не каждой не из не искомых не окружностей не имеет не вид:

(x не - не p_i)² не + не (y не - не q_i)² не = не ρ_i².

Для не круга не О₁ не (фиг. не 3) не легко не могут не быть не получены не три не уравнения, не определяющие не три не неизвестные не велиeчины не p₁, не q₁, не ρ₁; не именно, не из не условий

вытекают не равенства

Из не двух не последних не следует, не что не p₁ не = не 0, не а не отсюда не уже не непосредственно не вытекает:

(1)

ибо не радиус не круга не О₂ не равен не радиусу не ρ₁ не круга не О₁ не (фиг. не 3).

Окружность не О₃ не касается не окружностей не К₂ не и не К₃ не извне, не а не окружности не К₁ не — не изнутри; не таким не образом, не имеют не место не равенства

Отсюда не получается не

(2) не

Для не окружности не О₅ не имеют не место не равенства

откуда не получается:

Построение не может не быть не выполнено не по не следующему не плану. не Строим не по не порядку не (фиг. не 3):

AB не = не r2, не BC не = не a,

тогда

если не затем не построить

Аналогично не построим

1. не Весьма не удобным не методом не для не решения не геометрических не задач не на не построение не является не метод не геометрических не мест.
Он не основывается не на не следующем: не стараются не свести не всю не задачу не к не нахождению не некоторой не точки не X, не что не в не большей не части не случаев не сделать не трудно.
Точка не X не определяется не двумя не условиями, не вытекающими не из не требования не задачи. не Если не устранить не первое не из не условий, не то не существует не одна не только не точка не X, не но не бесчисленное не множество не таких не точек, не составляющих не в не совокупности не некоторую не линию, не некоторое не геометрическое не место. не Если не же не устранить не второе не условие не и не ограничиться не первым, не то не получится не другое не геометрическое не место. не Каждая не точка не пересечения не этих не двух не геометрических не мест не удовлетворяет не требованиям не задачи.
2. не Является не необходимым не предварительно не изучить не некоторые не геометрические не места. не Мы не приведем не наиболее не простые не и не вместе не с не тем не наиболее не употребительные не из не них.
a) не Геометрическое не место не точек, не находящихся не от не данной не точки не на не данном не расстоянии, не есть не окружность, не описанная не из не данной не точки, не как не из не центра, не радиусом, не равным не данному не расстоянию.
b) не Геометрическое не место не точек, не находящихся не на не данном не расстоянии не от не данной не прямой, не состоит не из не двух не прямых, не проведенных не параллельно не данной не прямой, не на не данном не от не нее не расстоянии.
c) не Геометрическое не место не точек, не равноотстоящих не от не двух не данных не точек не А не и не В, не есть не прямая, не перпендикулярная не к не отрезку не АВ не в не его не середине. не (Симметраль не точек не А не и не В).
d) не Геометрическое не место не точек, не равноотстоящих не от не двух не данных не прямых, не состоит не из не двух не взаимно не перпендикулярных не прямых не делящих не пополам не углы не между не данными не прямыми не (биссектрисы).
e) не Геометрическим не местом не точек, не из не которых не отрезок не АВ не виден не под не данным не углом не а, не является не дуга не окружности, не стягиваемая* не отрезком не АВ не (построение не ясно не из не фиг. не 4).



не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не (Рис.19) не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не (Рис. не 20)

f) не Геометрическое не место не точек, не расстояния не которых не от не двух не данных не точек не находятся не в не данном не отношении не m не : не n, не есть не некоторая, не окружность не (фиг. не 5)

При не этом

Откуда не по не известной не теореме не получается не , не что не < не APP_{1 не} = не < не P₁PB. не

Имеет не место не также не пропорция

AP₁:P₁B не = не AP₂:BP₂

Четыре не такие не точки не называются, не как не известно, не четырьмя не гармоническими не точками.
g) не Геометрическое не место не точек, не расстояния не которых не от не двух не данных не прямых не находятся не в не данном не отношении не m не : не n, не образуется не двумя не прямыми не линиями не х не и не у, не проходящими не через не точку не пересечения не данных не прямых не (фиг. не б).
h) не Геометрическое не место не точек, не квадраты не расстояний не которых не от не двух не данных не точек не А не и не В не сохраняют не постоянную не разность не d², не есть не прямая, не перпендикулярная не к не отрезку не АВ.



(Рис.21) не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не (Рис.22)

Доказательство: не Пусть не точка не Р₁ не (фиг. не 7) не обладает не указанным не свойством, не так не что

Если не опустить не из не точки не P₁ не на не АВ не перпендикуляр не и не взять не на не нем не произвольную не точку не Р₁ не то

Из не h) не может не быть не выведено не следствие, не которое не позже не для не нас не будет не важно. не Мы не лишь не предпошлем не ему не краткое не замечание:

а) не Как не известно, не справедливо не следующее не предложение: не „Если не через не точку не Р не (Рис.23,24) не провести не секущие не к не окружности, не то не постоянно

РА не .РА' не = не РВ.РВ' не = не ... не "

Эго не постоянное не произведение не называется не степенью не точки не Р не в не отношении не данной не окружности; не степень не равна не d² не — не r², не где не d не есть не расстояние не точки не Р не от не центра не (центральное не расстояние не точки не Р), не r не есть не радиус не окружности.

(Рис.23) не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не (Рис.24) не

Е сли не точка не Р не лежит не вне не окружности, не то не степень не точки не также не р авна не РТ².

β) не Если не даны не две не окружности не с не центрами не О₁ не и не О₂, не то не точка не Р не имеет не определенную не степень не по не отношению не к не каждой не из не них. не Если не же не точка не Р не по не отношению не к не обеим не окружностям не (с не радиусами не r₁ не и не r₂) не имеет не одну не и не ту не же не степень, не то

так не что

следовательно, не геометрическое не место не точек, не имеющих не одну не и не ту не же не степень не в не отношении не обеих не окружностей, не есть не (согласно не h) не прямая, не перпендикулярная не к не линии не центров не этих не окружностей; не прямая не мл не называется не радикальной не осью не обеих не окружностей.

Если не окружности не пересекаются, не то не их не радикальная не ось не проходит не через не точки не их не пересечения, не ибо не каждая не из не точек не пересечения не имеет не в не отношении не обеих не окружностей не степень, не равную не нулю.
Если не же не окружности не пересекаются, не то не радикальную не ось не можно не построить не (рис. не 25), не опустив не перпендикуляр не на не линию не центров не из не середины не общей не касательной не к не обеим не окружностям; не можно не при не этом не следовать не и не другому не пути, не пользуясь не теоремой: не «Если не даны не на не плоскости не три не окружности, не то не определяемые не ими не три не радикальные не оси не проходят не через не одну не и не ту не же не точку не (радикальный не центр не трех не окружностей)»; не доказательство не теоремы не основывается не на не том не соображении, не что не точка не пересечения не двух не каких-либо не радикальных не осей не имеет не одну не и не ту не же не степень не в не отношении не всех не трех не окружностей, не следовательно, не лежит не на не третьей не радикальной не оси.

не не не не не не не не не не не (Рис.25)

3. не Мы не разъясним не метод не геометрических не мест не на не двух не примерах: не

а) не Даны не две не окружности не О₁, не О₂ не радиусов не r₁ не и не r₂.
Требуется не построить не такую не окружность не К₁ не которая не касалась не бы не обеих не данных не окружностей не и не имела не бы не данный не радиус не r.
Если не откинуть не требование, не чтобы не окружность не К не касалась не окружности не О₂, не то не искомых не окружностей не существует не бесчисленное не множество; не геометрическое не место не их не центров не состоит не из не двух не концентрических не с не О₁ не окружностей, не радиусы не которых не соответственно не равны не r₁ не + не r не и не r₁ не — не r. не Аналогично не мы не получим не для не искомого не центра не X не и не другое не геометрическое не место, не состоящее не из не двух не окружностей, не описанных не из не точки не О₂, не как не из не центра, не радиусами
Точка не X не должна не совпасть не с не одной не из не точек не пересечения не обоих не геометрических не мест; не существует не больше не восьми не точек, не удовлетворяющих не требованиям не задачи.
β) не Даны не три не окружности не K₁, не К₂, не К₃; не требуется не построить не все не окружности, не касающиеся не трех не данных не (Аполлониева не задача не о не касании).
Если не (Рис.26) не через не центр не одной не из не данных не трех не окружностей, не например, не через не центр не окружности не /С3, не провести не окружность, не концентрическую не с не искомой не X, не то не окажется, не что не упомянутая не выше не задача не сведется не к не следующей:
Даны не две не окружности не К΄₁, не К΄₂ не и не точка не Р΄; не требуется не построить не окружности, не касающиеся не двух не данных не и не проходящие не через не точку не Р΄΄.



не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не (Рис.26)

Геометрическое не место не центров не всех не окружностей, не которые не касаются не окружности не К₁΄΄ не и не проходят не через не точку не Р, не есть не эллипс не или не гипербола, не в не зависимости не от не того, не лежит не ли не Р не внутри не окружности не К΄₁ не или не вне не ее.

Центр не окружности не К΄₁ не и не точка не Р не являются не фокусами не этих не конических не сечений; не асимптоты не гиперболы не перпендикулярны не к не касательным, не которые не можно не провести не к не окружности не К΄₁ не из не точки не Р.
Каждая не из не данных не трех не окружностей не может не свестись не и не к не одной не точке не или не перейти не в не прямую. не Геометрическое не место не центров не окружностей, не которые не касаются не прямой не l не и не проходят не через не точку не Р, не есть не парабола, не имеющая не прямую не l не своей не директрисой, не а не фокус не — не в не точке не Р.

Практика

№116
Пользуясь не сферической не линейкой, не строим не большие не круги не с не полюсами не в не данных не точках. не Точка не их не пересечения(любая) не будет не полюсом не искомого не большого не круга.

№117

Опустим не из не данной не точки не сферы не А_{1 не не} перпендикуляр не А₁А_{2 не} не к не диаметру не окружности не большого не круга. не Пользуясь не сферической не линейкой, не строим не окружность не большого не круга не с не полюсом не в не центре не сферы не и не проходящей не через не А_{1 не} и не А2.

№118

Пусть не нам не даны не три не точки не сферы не А,В не и не С, не не лежащие не на не одной не прямой. не Соединим не эти не точки не отрезками не АВ,ВС,АК. не Отметим не середины не этих не отрезков не M,N, не K не и не через не эти не точки не проведем не перпендикуляры. не Они не пересекутся не в не точке не О.Эта не точка не равноудалена не от не А,В,С. не Радиусом не равным не ОА, не проведем не окружность, не она не пройдёт не через не данные не точки не сферы. не ОА- искомый не радиус.

№119

Раствором не циркуля, не равным не радиусу не окружности не сферы, не чертим не окружность не с не центом не на не окружности не сферы(точка не 1).Точку не пересечения не обозначим не (2).Не не меняя не раствор не циркуля не из не точки не 2 не строим не окружность не .Точку не пересечения не обозначим не 3.Таким не образом не продолжаем не делить не окружность, не пока не разделим не на не 6 не равных не частей.

№120

Пусть не нам не задан не угол не АОВ не по не поверхности не цилиндра. не С не помощью не эластичной не линейки не на не сторонах не угла не АОВ не от не вершины не О не отложим не отрезки не равной не длины(ОЕ не и не ОВ не и не ОК). не Измерим не эластичной не линейкой не ЕВ не и не отложим не отрезок не ЕВ не так, не чтобы не он не пересекался не с не ОК не в не точке не К. не Угол не ВОК- искомый.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Заканчивая не изучение не данного не курса, не естественно не попытаться не от­дать не себе не отчет не в не объеме не и не характере не изложенных не в не нем не сведений, не представить не себе, не как не и не чем не этот не курс не может не помочь не учителю не ма­тематики не в не его не практической не работе не в не школе, не уяснить, не как не связаны не изученные не вопросы не с не другими не математическими не дисциплинами.

Курс не элементарной не геометрии не несет не на не себе не следы не многовеко­вого не эмпирического не развития не этой не науки. не В не нем не переплетаются не логический не подход не и не наглядность. не В не школьных не условиях не роль не логического не подхода не возрастает не от не класса не к не классу. не В не ходе не изуче­ния не элементарной не геометрии не в не педагогическом не институте не студент не изучает не вопросы, не непосредственно не примыкающие не к не школьному не кур­су не геометрии, не на не более не высоком не логическом не уровне. не Этим не самым не студент не готовится не к не изучению не «оснований не геометрии», не где не в не после­довательной не форме не рассматриваются не вопросы не аксиоматического не обос­нования не элементарной не геометрии.
Вопросы не измерения не геометрических не величин не развиваются не в не кур­се не элементарной не геометрии не почти не исключительно не для не прямолиней­ных не отрезков, не многоугольников не и не многогранников. не Из не других не фигур не рассматриваются не лишь не отдельные не представители: не окружность, не круг, не сфера, не шар, не круговой не цилиндр, не круговой не конус не и не некоторые не дру­гие. не Такая не ограниченность не круга не рассматриваемых не здесь не фигур не объясняется не тем, не что не вычисление не длин, не площадей не или не объемов не других не фигур не без не привлечения не приемов не математического не анализа не слишком не затруднительно. не Изучив не интегральное не исчисление, не студент не получит не значительно не большие не возможности не для не вычисления не различных не геометрических не величин. не Кроме не этого, не надо не отметить не еще, не что не само не понятие не меры не геометрической не фигуры не уже не в не нашем не веке не было не значительно не обобщено. не
В не прошлом не веке не сложился не взгляд не на не геометрию не как не на не учение не о не преобразованиях не и не о не свойствах не фигур, не сохраняющихся не при не тех не или не иных не геометрических не преобразованиях. не Эта не точка не зрения не получила не в не свое не время не отчетливое не выражение не в не работах не Ф. не Клейна не (1849— не 1925) не и не А. не Кэли не (1821— не 1895), не которым не удалось не построить не систему не современной не геометрии не на не основе не теоретико-групповой не классификации не геометрических не преобразований.
В не этой не системе не оказывается не возможным не указать не место не элементар­ной не геометрии. не Нетрудно не проследить, не что, не помимо не инверсии не (изучение не которой не в не курсе не элементарной не геометрии не носит не эпизодический не характер), не мы не рассматривали, не по не существу, не только не преобразования не подобия. не Та­ким не образом, не элементарную не геометрию не можно не понимать не как не геомет­рию не группы не преобразований не подобия, не то не есть не как не учение не о не свойст­вах не фигур, не сохраняющихся не при не таких не преобразованиях.
Еще не с не XVI не века не появились не и не стали не быстро не развиваться не геометрические не исследования не о не преобразованиях не более не общего не характера, не получивших не впоследствии не наименование не аффинных не и не проективных не преобразовании. не Геометрические не построения не в не настоящее не время не связаны не посредственно не с не наиболее не актуальными не проблемами не математики. не Но не в не процессе не их не изучения не усваиваются не понятия не и не приобретаются не некоторые не навыки, не имеющие не значение не и не за не пределами не этого не вопро­са. не Одним не из не широко не распространенных не в не современной не математике не понятий не является не понятие не алгоритма. не Изучение не геометрических не по­ не строений не является не хорошим не средством не подготовки не к не усвоению не этого не понятия. не Действительно, не цель не решения не каждой не геометрической не за­ не дачи не на не построение не как не раз не и не состоит не в не получении не некоторого не ал­горитма. не Разрешимость не геометрической не задачи не на не построение не пони­мается не именно не как не алгоритмическая не разрешимость. не Весьма не поучи­тельно не рассмотрение не задач, не связанных не с не доказательством не невозможности не выполнения не какого-либо не построения не данными не средствами, не так не как не вопросы не разрешимости не той не или не иной не задачи не при не тех не или не иных не допущениях не встречаются не в не самых не различных не разделах не мате­матики. не Геометрические не построения не играют не так не же не особую не роль, не как не средство не доказательства не существования не геометрической не фигуры, не обладающей не указанными не свойствами. не Геометрические не построения не составляют не также не теоретическую не основу не практической не графики.