Геометрические построения на плоскости

Разделим не чиcлитель не на не dⁿ не , не знаменатель не – не на не d^{n-1 не} .



Выражение не не представляет не сумму не одночленов не вида не .
Следовательно, не можно не построить не каждое не слагаемое, не а не потому не и не весь не числитель: не . не Аналогично, не не . не Наконец не строим не - не отрезок не длины не х, не где не ;
2) не отрезок, не заданный не формулой не , не где не – не ( (…) не – не однородная не рациональная не функция не 2 не степени не с не рациональными не коэффициентами. не Делается не так: не , не где не (R₂(…) не - не отношение не двух не однородных не многочленов не , не тогда не не как не и не выше, не строим не

3) не Замечание. не При не вычерчивании не кривых не иногда не приходится не строить не алгебраические не выражения, не являющиеся не однородными не первой не степени. не Пусть не надо не построить не отрезок не , не длина не которого не x не = не f(a,b,…,c), не где не f(…) не является не однородной не первой не cтепени, не например, не y не = не x^{3 не} +1.

Правило: не построение не произвольного не выражения не от не n не аргументов не всегда не можно не свести не к не построению не некоторого не однородного не выражения не первой не степени не от не n+1 не аргументов. не Достигается не это не выбором не единицы не измерения.
Выберем не некоторый не отрезок не в не качестве не единичного, не e не =1. не


- не однородная не функция не первой не степени.

Если не сумеем не построить не отрезок не не по не этой не формуле, не то не он не и не будет не искомым не при не выбранной, не единице не масштаба. не Ясно, не что не получим не различные не неравные не отрезки не в не зависимости не от не выбора не .

Примеры:
1) не
2) не
3) не
4) не
5) не

Разрешимость не задач не на не построение не с не помощью не циркуля не и не линейки.

Для не краткости не операции не «+», не «-», не «·», не «:» не и не извлечение не арифметического не квадратного не корня» не назовем не основными не действиями.
Теорема. не Отрезок, не длина не которого не задается не положительной не функцией не для не данных не отрезков, не может не быть не построен не циркулем не и не линейкой не тогда не и не только не тогда, не когда не длина не искомого не отрезка не выражается не через не длины не данных не отрезков не при не помощи не конечного не числа не основных не действий.
Достаточность. не С не помощью не циркуля не и не линейки не можно не построить не отрезок не , не длина не которого не x не равна не соответственно:

а +в

а-в
ав не (за не счет не , не е не = не 1)
не (- не « не -)

Так, не как не по не условию не длина не искомого не отрезка не выражается не через не длины не данных не отрезков не с не помощью не конечного не числа не основных не действий, не то не остается не единственный не возможный не случай, не когда не промежуточный не отрезок не сможем не построить не - не это не построение не разности не а-в не при не а не < не в.
В не таких не случаях не перейдем не к не положительной не разности не с не помощью не тождества не а не - не в не = не - не (в не - не а).
Теперь не можно не последовательно не выполнить не все не построения, не соответствующие не основным не операциям, не и не через не конечное не число не шагов не получим не искомый не отрезок. не
Необходимость. не Ясно, не что не построение не отрезка не не равносилъно не построению не его не концов. не Так не как не можно не построить, не то не существует не конечная не последовательность не основных не построений, не в не результате не выполнения не которых не на не каком-то не m не -м не шаге не будет не построен не один не конец не (обозначим не его не через не А не ), не а не на не к не -ом не - не другой не конец не (точку не в не ). не На не плоскости не построим не прямоугольную не декартовую не систему не координат.



не не не не не (Рис.12)
Пусть не А не ( ,β), не В не (γ, не δ) не - не координаты не построенных не точек. не Данные не отрезки не построим не на не положительной не полуоси не ОХ, не тогда не длины не этих не отрезков не выражаются не числами не а₁,…,а_р не ς не (А, не В) не = не х не = не не т.е. не длина не отрезка не выражается не через не числа не , не β, не γ, не δ не с не помощью не конечного не числа не основных не действий. не Если не докажем, не что не сами не числа не , не β, не γ, не δ не выражаются не через не а₁,…,а_р не с не помощью не конечного не числа не основных не действий, не то не теорема не будет не доказана не (длина не отрезка не выражается не с не помощью не конечного не числа не основных не действий).
Заметим, не что не любые не построенные не точки не в не ходе не построения не появляются не двояко: не либо не выбираемые не произвольно, не либо не как не общие не точки не двух не ранее не построенных не линий.
В не первом не случае не выберем не только не такие не точки, не координаты не которых не выражаются не через не а₁,…,а_р не при не помощи не конечного не числа не основных не действий.
Во не втором не случае не точка не получается не одним не из не следующих не способов:
а) не пересечение не прямых не (причем не каждая не прямая не проведена не через не 2 не построенные не точки):
б) не пересечение не окружности не и не прямой не (окружность не построена не через не 2 не построенные не точки);
в) не пересечение не двух не окружностей.
Рассмотрим не случай не а). не Пусть не прямая не l₁ не проведена не через не точки
C1 не (x₁,y₁) не и не D₁ не (x₂,y_2.). не Покажем, не что не числа не х₁, не у₁, не х₂ не и не у_{2 не} могут не быть не выражены не через не а₁,…,а_р не с не помощью не конечного не числа не основных не действий не (К4ОД). не Действительно, не пусть не уравнение не прямой не l₁ не имеет не вид:

в₁х не + не с₁у не = не d₁

(Рис.13)

Легко не убедиться, не что не чиcла не в₁, _не с_1, не d_{1 не} выражаются не через не х_{1, не} х_{2, не} у_{1, не} у_{2 не} с не помощью не конечного не числа не основных не действий. не То не же не самое не имеет не место не относительно не коэффициентов не прямой не l_{2 не} : не в₂х не + не с₂у не + не d₂=0.

Точка не пересечения не (x₀, не y₀) не еcть не решение не cиcтемы

причем не решение не выражается не через не в₁, не с₁,…, не d₁ не с не помощью не КrОД

В не cлучае не б) не (х₀, не у₀).- не точка не пересечения не - не есть не решение не системы

Числа не х₀,у₀ не выражаются не через не в,с, не d, не х₁, не х_2, не R не c не помощью не КrОД. не

В не случае не в) не точка не пересечения не (х₀,у₀) не является не решением не системы

Легко не убедиться, не что не решение не выражается не с не помощью не КrОД не через не координаты не ранее не построенных не точек.

Итак, не координаты не вновь не построенных не точек не получаются не через не координаты не ранее не построенных не с не помощью не конечного не числа не основных не действий. не Но, не к не ранее не построенным не точкам не применимы не точно не такие не же не рассуждения. не В не конечном не счете не (из-за не конечности не числа не построений не циркулем не и не линейкой) не получим, не что не координаты не А не и не В не выражаются не через не а₁,…,а_р не с не помощью не КrОД.
Следствие. не Если не даны: не отрезок, не принимаемый не за не единичный, не и не число не а, не то не отрезок не длины не а не может не быть не построен не циркулем не и не линейкой не тогда не и не только не тогда, не когда не число не а не может не быть не получено не из не «I» не посредством не лишь не конечного не числа не основных не действий.
О не задачах, не разрешимых не циркулем не и не линейкой.
Большой не интерес не представляют не такие не задачи не на не построения, не когда не фигура, не удовлетворяющая не всем не условиям не задачи, не заведомо не существует, не но не может не быть не построена не указанными не инструментами. не Такого не рода не "доказательства не невозможности" не даже не простых не по не формулировке не задач не на не построение не часто не оказываются не связанными не с не наиболее не трудными не вопросами не алгебры, не анализа.
Познакомимся не с не некоторыми не классическими не задачами не на не построение, не решения не которых не могут не быть не найдены не о не помощью не циркуля не и не линейки.
1. не Задача не о не квадратуре не круга не (пользовалась не исключительной не известностью не с не древнейших не времен).
Построить не циркулем не и не линейкой не квадрат, не площадь не которого не бала не бы не равна не площади не круга не данного не радиуса.
Пусть не не - не радиус не круга, не , не т.е. не площадь не крута не равна не площади не квадрата не со не стороной не Иначе не говоря, не x не является не средней не пропорциональной не и не .
Если не бы не можно не было не построить не , не то не легко не можно не было не строить не искомый не квадрат.
Итак, не задача не о не квадратуре не круга не свелась не к не задаче не о не опрямлении не окружности, не т.е. не построению не отрезка не длины не . не При не не эта не длина не равна не .
Ламберт не И. не (швейцарский не математик) не доказал, не что не π не - не иррациональное не число. не Но не вопрос не о не возможности не спрямления не окружности не остался не открытым, не так не как не согласно не следствию не из не предыдущей не теоремы не отрезок не длины не а не (при не выбранном не единичном не отрезке) не может не быть не построен не циркулем не и не линейкой, не если не а не получается не из не I не с не помощью не конечного не числа не основных не действий. не Такие не числа не являются не алгебраическими, не т.е. не служат не корнями не многочленов не с не рациональными не коэффициентами. не Числа, не являющиеся не алгебраическими, не называются не трансцендентными.
В не 1882 не г. не Линдеманн не Ф. не доказал, не что не π не является не трансцендентным не числом. не Следовательно, не проблема не о не квадратуре не крута не разрешена, не задача не о не квадратуре не крута не разрешима не о не помощью не циркуля не и не линейки.
2. не Задачу не удвоения не куба: не зная не ребро не куба, не построить не ребро не куба, не объем не которого не был не бы не вдвое не больше не объема не данного.
Пусть не а не - не длина не ребра не данного не куба, не x не - не искомого. не Имеем: не х₂ не = не 2а³. не Если не а не = не 1, не то не получим не уравнение не х³ не – не 2 не = не 0. не Это не уравнение не имеет не рациональных не корней не (т.к. не рациональные не корни не этого не уравнения не обязательно не целые, не их не надо не искать не среди не делителей не свободного не члена). не Из не алгебры не известно: не если не уравнение не не рациональные не числа) не имеет не рационального не корня, не то не ни не один не корень не этого не уравнения не может не быть не выражен не через не I не лишь не с не помощью не конечного не числа не основных не действий. не Тогда, не учитывая не указанное не выше не следствие, не получим, не что не отрезок не длины не x не может не быть не построен не с не помощью не циркуля не и не линейки.
Замечание. не Эта не задача не может не быть не решена не с не привлечением не двух не прямых не углов.
3. не Задача не о не трисекции не угла: не построить не угол, не в не 3 не раза не меньший не данного.
Достаточно не рассмотреть не эту не задачу не для не острых не углов, не т.к. не при не тупом не не угол не не является не острым не и не третья не часть не равна не не Отсюда не следует, не что не
Итак, не пусть не α не - не данный не острый не угол, не φ не - не искомый,

Если не отрезок не длины не x не можно не построить не циркулем не и не линейкой, не то не из не прямоугольника не следует, не что не можно не построить не и не сам не угол не φ. не Следовательно, не задача не свелась не к не построению не отрезка не длины не х, не где не x не - не один не из не корней не уравнения не (I).

Пусть не α не = не 60º, не тогда не в не = не 1. не Уравнение не (I) не приводится не к не виду: не

Легко не убедиться не (из не тех не же не соображений, не что не и не выше), не что не у не этого не уравнения не нет не рациональных не корней, не следовательно не нет не ни не одного не корня, не который не выражался не бы не через не I не с не помощью не конечного не числа не основных не действий.

Следовательно, не задача не о не трисекции не угла не разрешима не циркулем не и не линейкой не в не общем не виде.
Но, не может не быть, не она не никогда не разрешима? не Это не так. не Пусть не α не = не 90°. не Тогда не уравнение не (I) не имеет не вид: не x^{3 не} - не зх не = не 0, не Отрезок не можно не построить, не следовательно, не задача не в не этом не случае не разрешима.

нетрудно не построить не и не угол не φ.

Можно не чисто не геометрически не построить не угол не в не 60° не (хорда не равна не радиусу, не см.рис.).

Замечание не 1. не Существуют не приборы-трисекторы, не позволяющие не делить не угол не на не три не равные не части.


(Рис.14)
АВСD не и не AB₁C₁D_{1 не} - не ромбы, не φ не = .


не (Рис.15)

Замечание не 2. не Задачу не о не трисекции не угла не легко не решить не циркулем. не Строим не последовательно: не 1) не окружность не ω не расстояние не между не отметками не на не линейке; не

2) не точку не А;
3) не прямую, не проходящую не через не А не так, не чтобы не расстояние не между не второй не точкой не пересечения не с не окружностью не и не точкой не пересечения не этой не прямой не с не прямой не ОN не было не равно не .

Построение не правильных не многоугольников не циркулем не и не линейкой.

Решение не проблемы не связано не большими не трудностями, не и не решена не она не полностью не великим не немецким не математиком не Гауссом не в не 1796 не году.
Вопрос не построения не правильного не n не -угольника не равносилен не вопросу не о не возможности не деления не окружности не на не n не равных не частей. не Возьмем не окружноcть не радиуcа не и не прямоугольную не систему не координат. не Задача не деления не

окружности не на не n не равных не частей не состоит не в не построении не точек

т.е, не в не построении не корней не уравнения не Z^{n не} – не 1= не 0 не о не тличных не – не от не Z₀ не = не 1. не Это не равносильно не построению не корней не уравнения не не Это не уравнение не называется не уравнением не деления не окружности.

Гаусс не доказал не следующую не замечательную не теорему. не
Теорема. не Построение не правильного не n не - не угольника не с не помощью не циркуля не и не линейки не возможно не тогда не и не только не тогда, не когда не не (числа не Ферма).
Рассмотрим не несколько не частных не случаев:

уравнение не деления не окружности. Пусть не , не (если не не построено, не то не не также не можно не построить не

Следовательно, не правильный не пятиугольник не можно не построить не циркулем не и не линейкой.
Подставим: не


не

Строим не , не потом не не Повторяя не дугу не АВ не 3 не раза, не получим не все не точки.