Garmonik funksiyalar

2.1 - ta’rif. Yuqoridan yarim uzluksiz funksiya sharda subgarmonik deyiladi, agar va yetarlicha kichik uchun
(2.2.1)
tengsizlik bajarilsa. Agar bu funksiya uchun (2.2.1) faqat tenglik bajarilsa, u holda funksiya bo’ladi. Agar funksiya supergarmonik funksiya bo’lsa u holda funksiya subgarmonik bo’ladi.
Biz endi subgarmonik funksiyalar xossalarini keltiramiz.
a) agar sharda va subgarmonik funksiyalar bo’lib, sonlar uchun

yig’indi subgarmonik funksiya bo’ladi.
b) agar funksiya subgarmonik funksiya bo’lsa, u holda uchun ham subgarmonik funksiya bo’ladi
c) Maksimumlar prinsipi. Agar ochiq to‘plam berilgan bo’lsin. Agar da funksiya subgarmonik funksiya bo’lsa, shunda uchun

bo’ladi.
d) agar bo’lib, da garmonik va subgarmonik bo’lsa, u holda funksiya plyurigarmonik funksiya bo’ladi. Bu xossani R.M.Madraximov va M.D.Vaisova [18] da isbotlagan.
e) agar funksiya da bo’lsa, u holda subgarmonik funksiya bo’ladi.
Isboti. Agar funksiya sharda bo’lsin, u holda 2.1 paragrafdagi f) xossaga ko’ra har bir nuqta uchun shunday mavjudki, uchun

bajariladi. funksiya sharda subgarmonik funksiya bo’lsin. Ixtiyoriy funksiya uchun

funksiyani qaraylik.


bundan uchun kelib chiqadi. yuqoridagilardan kelib chiqadiki funksiya sharda subgarmonik funksiya bo’ladi. subgarmonik funksiya ta’rifiga ko’ra
.
Yuqoridagilardan hammasi ma’lumki lar uchun bajariladi, bo’lganda funksiya sharda subgarmonik funksiya bo’ladi. Xossa isbotlandi.
Bundan tashqari polidoria uchun ham subgarmonik funksiyalar sinfi ham kiritilgan bo’lib quyidagicha ta‘riflanadi.
2.2 - ta’rif. Agar bo’lgan funksiya ixtiyoriy uchun bo’lsa, funksiya da garmonik deyiladi. Bu yerda operator [9] dan ma’lumki polidoira uchun invariant laplasian bo’lib, quyidagicha aniqlangan .
f) agar funksiya polidoirada garmonik va subgarmonik funksiya bo’lsa, u holda polidoirada funksiya garmonik funksiya bo’ladi. Bu xossani [23] da R. Madrahimov va M. Vaisovalar isbotlagan.