Garmonik funksiyalar

1.1-teorema. Agar da ochiq to’plam va darajali bir jinsli ko’phad berilgan bo’lsin. Ixtiyoriy uchun bo’lsa, u holda qator dagi kompaktda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Bizning asosiy ishimiz birlik sharning avtomorfizmi bilan bog'liq, biz ushbu birlik sharning avtomorfizmlarining asosiy xususiyatlarini o’rganamiz.
Ushbu birlik doira berilgan bo’lsin. uchun bigolomorf akslantirish

bo’ladi. Bu akslantirish da Myobius akslantirish deyiladi. Hisoblashlar shuni ko’rsatadiki akslantirish uchun, , va o’rinli bo’ladi.
Huddi shunday kompleks fazoda birlik shar ham shunga o'xshash ishlarni bajaradi. Bu birlik sharni o’ziga o’tkazuvchi bigolomorf akslantirish (avtomorfizm) quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(2.1.1)
agar bo’lsa, bu yerda agar , .
Agar , u holda sohada golomorf aklantirish bo’ladi.
Agar bo’lsa bo’lib, (2.1.1) formula birlik doira avtomorfizmi bo‘ladi
Endi ixtiyoriy uchun akslantirishning asosiy xossalarini keltiramiz:

1. 
   va bo’ladi.
   
2. 
   Ixtiyoriy uchun quyidagi tenglik o’rinli
   

.

3. 
   Ixtiyoriy uchun quyidagi tenglik o’rinli
   

.

4. 
   aklantirish involyutsiya bo’ladi: .
   
5. 
   aklantirish sharni o’ziga o’tkazuvchi gomeomorfizm va bo’ladi.
   

Bu xossalarning isboti [4] da keltirilgan.
Biz endi kompleks fazodagi birlik sharning bigolomorf (avtomorfizm) akslantirishlardan foydalanib, invariant tushunchasini kiritamiz.
sinf orqali , yoki da aniqlangan funksiyalar belgilaymiz. sinf ixtiyoriy avtomorfizm va ixtiyoriy uchun bo’lsa, u holda sinf Myobius-invariant yoki qisqacha invariant deyiladi.
Misol. Agar funksiya berilgan bo’lsin, ixtiyoriy va ixtiyoriy uchun

integral o’rta qiymati deyiladi. Bu integralning o’rta qiymati xossasiga ega bo’lgan funksiyalar sinfi invariant bo’ladi.
kompleks fazoda markazi koordinata boshida bo’lgan birlik shar berilgan bo’lsin.
1.3 - ta’rif. Agar va bo’lsin. Faraz qilaylik

bu yerda involyunsiya, odatdgi laplas operatori
.
shardagi avtomarfizm bilan birgalikda operator invariant laplasian deyiladi.