Garmonik funksiyalar

1.4 - teorema. Har qanday funksiya real-analitik funksiya bo’ladi.
Bu teorema isboti [4] da keltirilgan bo’lib, bir qancha qiyinchiliklarga ega bo’lganli sababli isbotini keltirmaymiz.
2.4 teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
1.1 – natija. Agar funksiya sharda garmonik bo’lsa u holda funksiya real analitik bo’ladi.
Biz endi garmonik funksiyalar xossalarini keltiramiz.

1. 
   Agar va garmonik funksiyalar bo’lib, sonlar uchun yig’indi ham garmonik funksiya bo’ladi;
   
2. 
   Agar funksiya sharda garmonik va shunday son topilib garmonik bo’lsa u holda funksiya sharda plyurigarmonik bo’ladi.
   
3. 
   Maksimumlar prinsipi. Agar ochiq to‘plam berilgan bo’lib, , da va bo’lsin. Shunda da bo’ladi.
   

Isbot. Ixtiyoriy son uchun funksiyani qaraylik. Shunda bu funksiya da va ixtiyoriy uchun

bo’ladi. Agar biror nuqtada funksiya lokal maksimumga erishsa, u holda funksiya da lokal maksimumga erishadi, bu bo’lishi mumkin emas, chunchi
.
Shunday qilib, da bo’ladi. Shuning uchun , u holda agar bo’lganda bu shartni olamiz. Xossa isbotlandi.

4. 
   agar funksiya berilgan bo’lib, da garmonik va garmonik bo’lsa, u holda funksiya plyurigarmonik funksiya bo’ladi. Bu xossa [16] da W.Rudin tamonidan isbotlangan.
   
5. 
   agar funksiya sharda garmonik va shunday son topilib funksiya garmonik funksiya bo’lsa, u holda funksiya sharda plyurigarmonik bo’ladi.
   
6. 
   agar funksiya va uchun
   

(2.1.3)
tenglik bajariladi.
Isbot. Faraz qilaylik, funksiya ko’rinishda bo’lsin. Bu funksiyani nuqta atrofida quyidagicha Teylor qatoriga yoyiladi

.
Quyidagi [9] dagi (1.7) ya’ni formuladan foydalanib bo’yicha funksiyaning integralini hisoblaymiz
.
Bu integralni hisoblashda [9] dagi (2.9) formulani qullaymiz, ya’ni quyidagi tenglikni hosil qilamiz
.
Bu ifodani ikki tomonidan limit olib

(2.1.3) ni hosil qilamiz.

subgarmonik funksiyalar
Faraz qilaylik, kompleks fazoda markazi koordinata boshida bo’lgan birlik shar berilgan bo’lsin.