Garmonik funksiyalar

1.2 - teorema. Agar ochiq to’plam, va bo’lsa, u holda

da bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik va bo’lsin. Shunda da akslantirish saqlanadi va unitar bo’ladi, chunki uchun bo’ladi. Shunda

bo’ladi.
Ixtiyoriy funksiya uchun, va funksiyalarning nuqtadagi laplasianlari bir xil bo’ladi. Chunki
.
Quyidagi teorema isboti uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ba'zi bir ifodalarni keltirdik. Ulardan operatorni invariantligini ko'rish mumkin.
1.4 - ta’rif. Agar berilgan bo’lsin. Ixtiyoriy uchun

tenglikni qanotlantiruvchi funksiyalar fazosini orqali belgilaymiz. 2.2. teoremadan ko’rinadiki fazo invariant bo’ladi. Bizga bu fazoni o’rganish b’lganda qiziq. fazoni elementlarini biz garmonik funksiyalar deb ataymiz. Ya’ni, agar bo’lgan funksiya ixtiyoriy uchun tenglik bajarilsa funksiya sharda deyiladi. Bu yerda invariant laplasian [4] dan ma’lumki quyidagicha aniqlangan .
1.3 - teorema. Agar garmоnik funksiya bo’lsa, u hоlda iхtiyoriy nuqta va uchun
(2.1.2)
tenglik bajariladi. Aksincha, agar bo’lib, iхtiyoriy nuqta va uchun (2.1.2) fоrmula bajarilsa, u hоlda garmonik funksiya bo’ladi.
Bundan tashqari polidoira uchun ham garmonik funksiyalar sinfi kiritilgan.
1.5 - ta’rif. Agar bo’lgan funksiya ixtiyoriy uchun bo’lsa, funksiya da garmonik deyiladi. Bu yerda operator [9] dan ma’lumki polidoira uchun quyidagicha aniqlangan invariant laplasian.
Faqat bo’lganda shar va polidoirada uchun invariant laplasian operatorlar ustma-ust tushadi. Ya’ni bo’ldi.