Furye integrali va uning murakkab shakli

1-misol. f(x)=x funktsiya toqdir. Uning Furye qatorida kosinus va ozod had ishtirok etmaydi. b_n koeffisiyentlari quyidagicha bo`ladi:

2-misol. f (x)=׀x׀ funktsiya juft. U holda, uning Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. a₀ koeffisiyent quyidagiga teng bo`ladi:
(36)
n≠0 bo`lganda a_n koeffisiyent quyidagidan iborat bo`ladi:
(37)
ya`ni (bunda k=1,2,3,…). (38)
funktsiya uchun Furye qatori quyidagidan iborat:
(39)
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya davriy bo`lib, uning davri 2 bo`lsin.
Teorema. Quyidagi
(40)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar f(x) funktsiya uchun
(41)
integral mavjud bo`lsa, u holda, (41) qatorning koeffisiyentlari uchun quyidagi Eyler – Furye formulalari o`rinli bo`ladi:




(42)
Isboti: Ma`lumki,
. (43)
Ushbu tenglikni – va oraliqda integrallaymiz:
(44)
Oldingi paragrafdagi (42) formulaga asosan (44) tenglikning o`ng tomonidagi integralning birinchisidan tashqari, barcha integrallar nolga teng. U holda, quyidagiga ega bo`lamiz:
ya`ni
Demak, n=0 bo`lganda (42)–Eyler–Furye formulalarining birinchisini hosil qildik. Qolganlari ham shu yo`l bilan topiladi. Bunda (43) tenglik cosnx yoki sinnx ga ko`paytiriladi, so`ngra, integrallanadi. (43) tenglikni cos2x ga hadma – had ko`paytirib, integrallash natijasida quyidagini hosil qilamiz:

(45)