Furye integrali va uning murakkab shakli

1.2. Uzluksiz, juft va toq funksiyalar uchun Furye qatori
f(x) funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va shu oraliqda ekstremumga ega bo`lmasin. U holda, f(x) funktsiya uchun Furye qatori oraliqning barcha nuqtalarida uzluksiz va x ning (- , ) oraliqdagi barcha qiymatlari uchun qator yig`indisi f(x) dan iborat bo`ladi.
Oraliqning chetki ikkala nuqtalarida yig`indi
, (23)
ya`ni f (- ) va f (+ ) larning o`rta arifmetigiga teng bo`ladi.
Misol. f (x)= x funktsiya berilgan bo`lsin. Bu funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va ekstremumlarga ega bo`lmasin.

Yechilishi:
Funktsiyaning Furye qatordagi koeffisiyentlar nollardan iboratdir. Xakikatdan ham
(24)
Bundagi birinchi qo`shiluvchi x=-x* almashtirishdan so`ng ko`rinishga kelib, ikkinchi qo`shiluvchi bilan yig`indisi nolga teng bo`ladi, ya`ni: a<sub>n</sub>=0 (bunda n=0,1,2,…). (25)
b<sub>n</sub> koeffitsiyentlar bo`laklab integrallash yordamida topiladi:
(26)
yoki (27)
U holda, x uchun Furye qatori quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(28) Teoremaga asosan oxirgi qator uzluksizdir. - < x < da uning yig`indisi quyidagiga teng bo`ladi:
(29)
x=± da yig`indi . Qatorning barcha hadlari nolga aylanadi.
da (6) formula Leybnits qatoridan iborat bo`ladi, ya`ni:
(30)
f(x) funktsiya biror (- , ) oraliqda aniqlangan bo`lsin. Bu funktsiya argument ishorasining o`zgarishi bilan o`z ishorasini o`zgartirmasa, ya`ni:
(31)
bo`lsa, f (x) toq funktsiya; agar o`z ishorasini o`zgartirsa, ya`ni bo`lsa, juft funktsiya deb nomlanadi.
Quyidagi va integrallar juft funktsiyalar bo`lganda o`zaro teng, toq bo`lganda esa ishoralari bilan farqlanadi. Shuning uchun juft funktsiyalar uchun (32)
toq funktsiyalar uchun esa (33)
interallar o`rinlidir.
Juft funktsiyalar uchun Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. U holda, Furye koeffisiyenti quyidagicha bo`ladi:
(34)
Toq funktsiyalar uchun Furye qatorida kosinuslar va ozod hadlar ishtirok etmaydi. U holda, Furye koeffisiyenti
(35)
ko`rinishga ega bo`ladi.