Funksiyaning xususiy hosilalari

Ko’p argumеntli funksiya va differentsial tenglama

Funksiyaning xususiy hosilalari

funksiya to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, , , va nuqtalar to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda argumentlarning orttirmalari.

va

ayirmalarga funksiyaning nuqtadagi va o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalarideyiladi.

ayirmaga

funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi.

Misol. funksiyaning nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini va lar uchun topamiz:













1-ta’rif. Agar nisbatining dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va ko‘rinishlarda belgilanadi.

Demak,

.

funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi:

.

( ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.

Misollar.1. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

2. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz.
Yuqori tartibli xususiy hosilalar

nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan funksiya shu

atrofda xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi.

Bu hosilalar va o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud bo‘lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

Uchinchi, to‘rtinchi va umuman tartibli xususiy hosilalar shu kabi aniqlanadi.

va hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar deyiladi.

7-teorema. Agar funksiyaning ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalari nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada uzluksiz bo‘lsa,

u holda ular shu nuqtada teng bo‘ladi, ya’ni

Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o‘rinli

bo‘ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun

tenglik bajariladi.

funksiyaning nuqtadagi to‘liq differensiali ga birinchi tartibli to‘liq differensial deyiladi.

nuqtada funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to‘liq differensial kabi aniqlanadi.

Uni topamiz:

Bundan

(16)

bu yerda

(16) formula simvolik ko‘rinishda

kabi yoziladi.