Funksiyaning monotonligi, ekstremumni topish. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati. Funksiyaning qavariq va botiqligi

5-teorema (funksiya ekstremumining 2-yetarlilik sharti). funksiya ikki marta differensiallanuvchi, va bo‘lsa, da ekstremum mavjud. Agar bo‘lsa, maksimum nuqta, bo‘lsa minimum nuqta bo‘ladi.
3-misol

Ushbu funksiyani ikkinchi tartibli hosila yordamida ekstremumga tekshiring.

►Funksiya da aniqlangan. Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblaymiz:

tenglamadan funksiyaning va kritik nuqtalari topiladi. Bu nuqtalardagi ikkinchi tartibli hosila qiymatlarini hisoblaymiz: , ya’ni - minimum nuqta, , ya’ni - maksimum nuqta; .◄


kesmada uzluksiz funksiya bu kesmada o‘z ining eng katta va eng kichik qiymatlaruga erishadi va bu qiymatlarga yoki intervalda yotuvchi kritik nuqtalarda, yoki kesma oxirlarida erishadi.


4-misol
Ushbu funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
►Funksiya hosilasi . U holda hosila bo‘ladigan, hosila mavjud bo‘lmagan, ya’ni uziladigan nuqtalar bo‘ladi. Ikkila kritik nuqtalar ham intervalga tegishli. Funksiyaning kritik nuqtalardagi va kesma oxirlaridagi qiymatlarini hisoblaymiz:
, , , .
Topilganlarni taqqoslab, berilgan funksiya kesmadagi eng katta qiymatiga nuqtada, eng kichik qiymatiga nuqtada erishadi, degan xulosaga kelamiz. Demak, kesmada bo‘lar ekan.◄


5-misol

Radiusi R ga teng bo‘lgan sharga ichki chizilgan eng katta hajmli aylanma konusning balandligini aniqlang.

►Konus hajmi: Bu yerda konus balandligi H sharning o‘qkesimida hosil bo‘lgan aylanaga ichki chizilgan teng yonli uchburchak balandligi hamdir, konus asosining radiusi esa shu uchburchak asosining yarmiga teng. Demak,

Bundan

H ning qanday qiymatida hajm eng katta bo‘lishini topish uchun hosil bo‘lgan funksiyadan hosila olib, nolga tenglaymiz:
.
nuqtani topib, uni hosilaga qo‘ysak, . Demak, da konus hajmi eng katta bo‘lar ekan.◄