Funksiyaning hosilasi va differensiali

6–teorema ( Lagranj teoremasi ). f (x) funksiya a,b segmentda
uzluk-siz bo’lsin. Agar bu funksiya a,b intervalda chekli f (x) hosilaga ega bo’lsa, u holda shunday c a  c b nuqta topiladiki, bu nuqtada
f (c) _ f (b) ^{ f (a)}. (6.20)
b  a
bo’ladi.
◄ f (x)funksiyaa,b segmentda uzluksiz bo’lib, uning ichki nuqtalarida chekli f (x) hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya yordamida quyidagi
F(x)  f (x)  f (a) _ f (b) ^{ f (a)} x  a. b  a
funksiya tuzaylik. Ravshanki, bu funksiya a,b segmentda uzluksiz bo’lib,
a,b intervalda esa
F(x)  f (x) _ f (b) ^{ f (a)}
b  a
hosilaga ega. F(x) funksiyaning xa va x b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)  F(b)  0. Demak, F(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. U holda a va b orasida shunday c a  c b nuqta topiladiki, F(x)  0 bo’ladi. Shunday qilib,
0  F(c)  f (c) _ f (b) ^{ f (a)} b  a
va bundan (6.22) formula kelib chiqadi. ► (qaralsin 33–chizma)

7–teorema ( Koshi teoremasi ). f (x) va g(x) funksiyalar a,b segmentda uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiyalar a,b intervalda chekli
f (x) va g(x) hosilalariga ega bo’lib, x(a,b) uchun g(x)  0 bo’lsa, u
holda shunday c a  c b nuqta topiladiki, f (b)  f (a) f (c)

 (6.23)
g(b)  g(a) g(c)
tenglik o’rinli bo’ladi.
◄ (6.23) tenglik ma’noga ega bo’lishi uchun g(b)  g(a) bo’lishi kerak. Bu esa teoremadagi g(x)  0, (x(a,b)) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(b)  g(a) bo’lib qoladigan bo’lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c(a,b) nuqtada ( bunday nuqta Roll teoremasiga ko’ra topiladi ) g(c)  0
bo’lib qoladi. Bu esa x(a,b) da g(x)  0 shartga ziddir. Demak, g(b)  g(a) bo’ladi.
Endi f (x) va g(x) funksiyalar yordamida quyidagi
F(x)  f (x)  f (a) _ f (b) ^{ f (a)} g(x)  g(a) g(b)  g(a)
funksiyani tuzaylik.Bu funksiya a,b segmentda uzluksiz bo’lib,a,b intervalda
F(x)  f (x) _ f (b) ^{ f (a)} _ g(x) g(b)  g(a)
hosilaga ega. So’ngra F(x) funksiyaning x  a, x b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)  F(b)  0. Demak, F(x) funksiya a,b segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a va b lar orasida shunday c a  c b topiladiki, F(c)  0 bo’ladi.Shunday qilib,
0  F(c)  f (c) _ f (b) ^{ f (a)} _ g(c) g(b)  g(a)
va undan (6.23) tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi. ►
Xususan, g(x)  x bo’lganda Koshi teoremasidan Lagranj teoremasi kelib chiqadi.
7–§. Teylor formulasi
1⁰. Funksiyani yaqinlashtirish haqida. Ma’lumki funksiya
matematik analizda o’rganiladigan asosiy tushinchadir. Ko’pgina masalalar esa funksiyani hisoblash ( berilgan nuqtada qiymatini topish ) bilan bog’liq. Funksiyaning murakkab bo’lishi bunday hisoblashlarda katta qiyinchilik tug’diradi. Natijada noqulay va murakkab funksiyani o’ziga qaraganda sodda va hisoblashga qulay bo’lgan funksiya bilan yaqinlashtirish–taqribiy ifoda-lash masalasi yuzaga keladi. Bu masalani hal qilishda ko’p hollarda Teylor formulasidan foydalaniladi.
Shuni aytish kerakki, hususiy holda bunday masala bilan funksiya orttirmasi y ni uning differensiali dy bilan taqribiy ifodalash y  dy jarayonda tanishgan edik. Ma’lumki, f (x) funksiya x₀ a,b da differensiallanuvchi bo’lsa, uni quyidagi
f (x)  f (x₀ )  f (x₀ )(x  x₀ )  o(x  x₀ )
ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa x₀ nuqtaning yetarli kichik atrofidagi
x nuqtalarda f (x) funksiya ushbu
P₁(x)  f (x₀ )  f (x₀ )(x  x₀ )
chiziqli funksiya (birinchi darajali ko’phad) bilan taqribiy ifodalanishini ko’rsatadi.