30. Funksiyaning uzluksiz bo’lishi bilan uning hosilaga ega bo’lishi orasidagi bog’lanish. f (x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lib, x0 (a, b) nuqtada chekli f (x0) hosilaga ega bo’lsin:
f (x0) limx0 yx limx0 f (x0 xx) f (x0) .
Ushbu
y
f (x0)
x
(6.2)
miqdor x ga bog’liq va t 0 da nolga intiladi.
(6.2) tenglikdan topamiz:
y f (x0)x x.
(6.3)
Odatda (6.3) formula funksiya orttirmasining formulasi deb ataladi. Bu formuladan
limx0y limx0( f (x0)x x) 0
kelib chiqadi.
Shunday qilib, f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada chekli f (x0) hosilaga ega bo’lsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.
2−eslatma. Funksiyaning biror nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, y x funksiya x 0 nuqtada uzluksiz, ammo u shu nuqtada hosilaga ega emas.
2−§. Teskari funksiyaning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi
10. Teskari funksiyaning hosilasi. f (x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiya teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremaning (qaralsin 5-bob) barcha shartlarini qanoatlantirsin.
1−teorema. f (x) funksiya (a, b) da uzluksiz va qat’iy o’suvchi
(qat’iy kamayuvchi) bo’lsin. Agar f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada f (x0) 0 hosilaga ega bo’lsa, bu funksiyaga teskari x f 1(y) funksiya x0 nuqtaga mos bo’lgan y0 (y0 f (x0)) nuqtada hosilaga ega va
f 1yyy0 1
f (x0)
tenglik o’rinli bo’ladi.
◄ f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada f (x0) 0 hosilaga ega bo’lsin.
(6.3) formuladan foydalanib topamiz:
f (t) f (x0) f (x0)(t x0) (t x0) (t(a, b)) (6.4) bunda t x0 da (t) 0. Endi f (x) funksiyaning t nuqtadagi qiymatini f (t) z deb belgilaymiz. Unda t f 1(z) shuningdek, x0 f 1(y0) bo’ladi. Natijada (6.4) tenglik ushbu
z y0 f (x0)( f 1(z) f 1(y0)) ( f 1(z))( f 1(z) f 1(y0))
1(z) f 1(y0))( f (x0) ( f 1(z)))
( f
ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikdan esa
f 1(z) f 1(y0) 1
1
z y0 f (x0)( f (z))
kelib chiqadi. z y0 da limitga o’tib topamiz:
zlimy0 f 1(zz) yf01(y0) zlimy0 f (x0) 1 ( f 1(z)) f (1x0) .
Demak,
f 1(z) f 1(y0) 1 . lim
zy0 z y0 f (x0)
Hosila ta’rifiga ko’ra
zlimy0 f 1(zz) yf01(y0) ( f 1(y))yy0
bo’lib, bundan
( f 1(y))yy0 1
f (x0)
tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi.►
20. Murakkab funksiyaning hosilasi. u f (x) funksiya (a, b) intervalda, y F(u) funksiya esa (c, d) intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiyalar yordamida y F( f (x)) (x) murakkab funksiya tuzilgan bo’lsin (bunda, albatta, x(a, b) da u f (x)(c, d) bo’lishi talab qilinadi). 2-teorema. Agar u f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada f (x0) hosilaga ega bo’lib, y F(u) funksiya esa x0 nuqtaga mos u0 (u0 f (x0)) nuqtada F(u0) hosilaga ega bo’lsa, u holda
murakkab funksiya (x) F( f (x)) ham x0 nuqtada hosilaga ega va
(x0) (F( f (x)))xx0 F(u0) f (x0) (6.5) formula orinli bo’ladi.
◄ u f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada, y F(u) funksiya esa mos u0 (u0 f (x0)) nuqtada hosilaga ega bo’lsin. (6.3) formuladan foydalanib
topamiz:
f (t) f (x0) f (x0))(t x0) ( t)(t x0), (6.6)
F(s) F(u0) F(u0)(su0) (s)(su0), (6.7) bunda
lim (t) 0, lim (s) 0.
tx0 su0
Murakkab funksiya (x) F( f (x)) ning, x0 nuqtadagi orttirmasi (t) (x0) ni yuqoridagi (6.6) va (6.7) munosabatlardan foydalanib, quyidagicha yozish mumkin:
(t) (x0) F( f (t)) F( f (x0)) F(u0)( f (x0)(t x0) (t)(t x0)) ( f (t))( f (t) f (x0)) F(u0) f (x0)(t x0)
F(u0)(t)(t x0) ( f (t))( f (t) f (x0)).
Endi bu tenglikning har ikki tomonini t x0 ga bo’lib, so’ngra t x0 da limitga o’tamiz:
(t) (x0) lim
tx0 t - x0
f (t) f (x0).
F(u0) f (x0) F(u0) tlimx0 (t) tlimx0 ( f (t)) tlimx0 t - x0
Bundan t x0 da (t) 0, ( f (t)) 0 ekanini e’tiborga olsak, (6.5) formula kelib chiqadi. ►
3−§. Hosila hisoblashning sodda qoidalari.
Elementar funksiyalarning hosilalari
Biz ushbu paragrafda ikki funksiya yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatining hosilalarini topish qoidalarini keltiramiz. So’ngra elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblaymiz. f (x) va g(x) funksiyalar (a, b) intervalda aniqlangan bo’lsin.
10. Ikki funksiya yig’indisi hamda ayirmasining hosilasi.
Agar f (x) va g(x) funksiyalarning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda f (x) g(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va
( f (x) g(x)) f (x) g(x) (6.8)
formula o’rinli bo’adi.
◄ Haqiqatan ham, f (x) va g(x) funksiyalar x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsin:
f (x) lim f (t) f (x) , g(x) lim g(t) g(x) . tx t x tx t x
Endi F(x) f (x) g(x) deb belgilab, topamiz:
F(t) F(x) f (t) f (x) g(t) g(x)
. t x t x t x
Bu tenglikda t x da limitga o’tsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
F(x) lim F(t) F(x) lim f (t) f (x) lim g(t) g(x)
tx t x tx t x tx t x
f (x) g(x).
Bu esa (6.8) formulani isbotlaydi.►
20. Ikki funksiya ko’paytmasining hosilasi. Agar f (x) va g(x) funksiyalarning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda f (x)g(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va
( f (x) g(x)) f (x) g(x) f (x) g(x) (6.9) formula o’rinli bo’ladi.
(t) (x)
◄ (x) f (x)g(x) deb belgilab, nisbatni quyidagi t x
(t) (x) f (t) f (x) g (t) g (x)
g(x) f (t) t x t x t x
ko’rinishda yozib olamiz. Bu tenglikda t x da limitga o’tib, topamiz:
(x) lim (t)t x (x) limtx f (tt) xf (x) g(x) limtx g (t)t xg (x) f (t) t x
g(x)lim f (t) f (x) lim f (t)lim g (t) g (x) g(x) f (x) f (x) g(x).
tx t x tx tx t x
Bu esa (6.9) formulani isbotlaydi.►
30. Ikki funksiya nisbatining hosilasi. Agar f (x) va g(x) funksiya-larning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega f (x) bo’lib, g(x) 0 bo’lsa, u holda funksiya ham x nuqtada hosilaga g(x)
ega va
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x) g2(x) (6.10) formula o’rinli bo’ladi.
◄ (6.10) formulani isbotlashdan avval funksiya hosilasi ta’rifidan
foydalanib, 1 (g(x) 0) funksiyaning x(a, b) nuqtadagi hosilasini g(x)
hisoblaymiz:
1 1 g(x) g(t)
1 g(t) g(x) g(t)g(x)
g(x) limtx t x limtx t x
g(x1) limtx g(t)t gx(x) limtx g1(t) gg2((xx)) .
Demak,
1 g(x)
g(x) g2(x) (g(x) 0). (6.11)
Endi (6.9) va (6.11) formulalardan foydalanib topamiz:
f (x) 1 1 1
g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x) g2(x) g2(x) .
Bu (6.10) formulaning o’rinli ekanini isbotlaydi.►
1−natija. 1). Yuqorida keltirilgan (6.8) va (6.9) formulalar yordamida qo’shiluvchilar hamda ko’paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo’lgan holda ham tegishli formulalarni isbotlash mumkin.
2). (6.9) formuladan g(x) c, c const bo’lganda
(cf (x)) cf (x)
formula kelib chiqadi. Bundan o’zgarmas sonni hosila ishorasidan tashqari-ga chiqarish mumkinligi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |