Funksiyaning hosilasi va differensiali



Download 243,95 Kb.
bet5/10
Sana18.03.2022
Hajmi243,95 Kb.
#500147
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-mavzu. FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI

20. Sodda qoidalar. f (x) va g(x) funksiyalar a,b intervalda aniqlan-gan bo’lib, ular xa,b da ntartibli f n(x), gn(x) hosilalarga ega bo’lsin. Buni quyidagicha tushinish lozim: f (x) va g(x) funksiyalar x nuqtani o’z ichiga olgan , a,b intervalda f (x), f (x),, f k1(x) hamda g(x),g(x),,gk1(x) hosilalarga ega bo’lib, x nuqtada esa
f k(x),gk(x) hosilaga ega. U holda

    1. (cf (x))ncf n(x), c const;

    2. ( f (x)  g(x))nf n(x)  gn(x),

nf n(x)g(x)  Cn1 f n1(x)g(x)  Cn2 f n2(x)g(x) 

    1. ( f (x)g(x)) 

Cnk f nk(x)gk(x)  f (x)gn(x)
bo’ladi, bunda

Cnk n(n 1)(n k 1) , 1 k n. k!
6.9−misol. Ushbu
f (x)  x2 2x5x36 x  2, x  3

funksiyaning ntartibli hosilasi topilsin.
◄ Berilgan funksiyani quyidagicha
7 9

f (x)    x  2 x  3
yozib olamiz. So’ng
 1 n (1)n n!
x    (x a)n1
a
formuladan foydalanib topamiz:
nn1n! 9(1)nn!
 2x  3  7(1)

x2 _5x  6 (x  2)n1  (x  3)n1 .►
30. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli hosilalari. u f (x)
funksiya a,b intervalda, y F(u) funksiya esa c,d intervalda aniqlangan bo’lib, ular yordamida y F( f (x)) murakkab funksiya tuzilgan bo’lsin. u f (x) funksiya x(a,b) nuqtada ikkinchi tartibli f (x) hosilaga, y F(u)
funksiya esa mos u (u f (x)) nuqtada ikkinchi tartibli F(u) hosilaga ega bo’lsin. Ikkinchi tartibli hosila ta’rifiga ko’ra
y  (F( f (x))) (F( f (x)))
bo’ladi. Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash formulasi (6.5) dan hamda ko’paytmaning hosilasini hisoblash formulasi (6.9) dan foydalanib topamiz:
(F( f (x))) F( f (x)) f (x) F( f (x))f (x)  F( f (x))( f (x))   F( f (x)) f (x) f (x)  F( f (x)) f (x) 
F( f (x)) f 2(x)  F( f (x)) f (x).
Demak,
y F( f (x))F( f (x)) f 2(x)  F( f (x)) f (x).
Xuddi shunga o’xshash u f (x) funksiya x(a,b) nuqtada f (x) va y F(u) funksiya esa mos u (u f (x)) nuqtada F(u) hosilaga ega bo’lsa,
murakkab y F( f (x)) funksiya ham x(a,b) nuqtada 3-tartibli hosilaga ega bo’ladi. Bu hosila quyidagicha hisoblanadi:
y  F( f (x)) '''  (F( f (x))) ' F( f (x)) f 2 (x)  F( f (x)) f (x) '
F( f (x)) f 3 (x)  F( f (x))2 f (x) f (x)  F( f (x)) f (x) f (x)  F( f (x)) f (x) 
F( f (x)) (x) f 3 (x)  3F( f (x)) f (x) f (x)  F( f (x)) f (x).
Shu yo’l bilan murakkab funksiya y F( f (x))ning istalgan tartibli hosilalari ham hisoblanishi mumkin.
40. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari.
Faraz qilaylik, f (x) funksiya xa,b nuqtada ikkinchi tartibli f (x) hosilaga ega bo’lsin.
6−ta’rif. f (x) funksiya differensiali dy ning xa,b nuqtadagi differensiali funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi. Funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali d 2 f (x) yoki d 2 y kabi belgilanadi: d 2 y d(dy) yoki d 2 f (x)  d(df (x)).
Endi differensiallash qoidasidan foydalanib topamiz: d 2 y d(dy)  d(ydx)  dxd(y)  dxydx y(dx)2
Demak,
d 2 y ydx2 (6.19)
bunda dx2 dxdx  (dx)2
Xuddi yuqoridagiga o’xshash, xa,b nuqtada funksiyaning 3–tartibli differensiali ta’riflanadi: d 3 y d(d 2 y)  d(ydx2 )  dx2d(y)  ydx3
bunda dx3  (dx)3. Umuman funksiyaning (n 1) tartibli differensiali d n1y dan olingan differensial f (x) funksiya xa,b nuqtadagi ntartibli differensiali deb ataladi va u d n y yoki d nf (x) kabi belgilanadi: d ny d(d n1 y) yoki d n f (x)  d(d n1 f (x)).
Bu holda funksiyaning ntartibli differensiali uning ntartibli hosilasi orqali quyidagi
d n y yndxn
ko’rinishda ifodalanadi. Uning to’g’riligini matematik induksiya usuli yordamida isbotlash mumkin.
f (x) va g(x) funksiyalar a,b intervalda aniqlangan bo’lib, ular
xa,b nuqtada ntartibli differensialga ega bo’lsin. U holda ushbu 1) d n (c f (x))  cd n f (x), c const

  1. d n ( f (x)  g(x))  d n f (x)  d n g(x);

  2. d n ( f (x)g(x))  d n(x)g(x)  Cnd n1f (x)  dg(x)  f (x)d ng(x)

formulalar o’rinli bo’ladi.
Endi murakkab funksiya y F( f (x)) ning differensialini hisoblaymiz. Ma’lumki, y F( f (x)) (x) funksiyaning differensiali dy (x)dx  (F( f (x)))dx
(F( f (x)))  F( f (x)) f (x)
bo’lib, u
dy d(F( f (x))  F( f (x)) f (x)dx F( f (x))df (x) (6.20)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Demak, funksiya murakkab bo’lgan holda ham funksiya differensiali funksiya hosilasi F( f (x)) bilan (bu holda argument f (x) bo’ladi) argument f (x) ning differensiali df (x) ko’paytmasidan iborat ekanini ko’ramiz. Odatda bu xossani differensial formasining invariantligi deyiladi. Bunda (6.14) formuladagi dx argument x ning ixtiyori orttirmasi x ni
x dx bildiradi, (6.20) formuladagi df (x) esa x o’zgaruvchiga bog’liq bo’ladi.
Endi y F( f (x)) murakkab funksiyaning ikkinchi tartibli differensia- lini hisoblaymiz. Ta’rifga ko’ra d 2 y d 2 (F( f (x)))  d(dF( f (x)))
bo’ladi. Differensiallash qoidasidan foydalanib topamiz:
d2y d(F( f (x))df (x))  d(F( f (x)))df (x)  F( f (x))d(df (x)) 
2(x)  F( f (x))d2 f (x),
F( f (x))df
bunda df 2 (x)  df (x) df (x)  (df (x))2.
Demak,
d 2 y d 2 (F( f (x))  F( f (x))df 2 (x)  F( f (x))d 2 f (x) (6.21)
Bu (6.21) formula bilan (6.19) formulani taqqoslab, ikkinchi tartibli differensiallar differensial formasining invariantligi xossasiga ega emasligini ko’ramiz.
y F( f (x)) funksiyaning uchinchi va hokazo tartibli differensiallari yuqoridagidek birin-ketin hisoblanadi.

6–§. Differensial hisobning asosiy teoremalari


Ushbu paragrafda differensial hisobning asosiy teoremalarini keltiramiz. Bu teoremalar kelgusida, ayniqsa funksiyalarni tekshirishda muhum rol o’ynaydi.
4−teorema (Ferma teoremasi). f (x) funksiya biror X R oraliqda aniqlangan va bu oraliqning ichki c nuqtasida o’zining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishsin. Agar bu nuqtada funksiya chekli f (c) hosilaga ega bo’lsa, u holda f (c)  0 bo’ladi.
f (x) funksiya c nuqtada eng katta qiymatga ega, ya’ni xX da f (x)  f (c) tengsizlik o’rinli, shu bilan birga bu c nuqtada chekli
f (c) hosila mavjud bo’lsin. Ravshanki
f (c) lim f (x)  f (c) lim f (x)  f (c) lim f (x)  f (c)
xc x c xc0 x c xc0 x c
Ayni paytda (32-chizma) lim f (x)  f (c)  0, lim f (x)  f (c)  0.
xc0 x c xc0 x c
bo’ladi.
Yuqoridagi munosabatlardan
f (c)  0
ekani kelib chiqadi. ►
Shunga o’xshash, funksiya c nuqtada eng kichik qiymatga ega va bu nuqtada chekli f (c) hosilaga ega bo’lganda ham f (c)  0 bo’lishi ko’rsatiladi.

uzluksiz, f (a)  f (b) bo’lsin. Agar bu funksiya a,b intervalda chekli
hosilaga ega bo’lsa, u holda shunday c a c b nuqta topiladiki, f (c)  0 bo’ladi.
f (x) funksiya a,b segmentda uzluksiz. Demak, Veyershtrassning birinchi teoremasiga (5–bob, 7–§ ) ko’ra bu oraliqda funksiya o’zining eng katta qiymati M va eng kichik qiymati m ga erishadi.

  1. m M bo’lsin. Bunda f (x)  const, xa,b bo’ladi. Ravshanki, bu holda ca,b uchun f (c)  0 bo’ladi.

  2. m M bol’sin. Bu holda f (a)  f (b) bo’lgani uchun f (x) funksiya o’zining eng katta qiymati M , eng kichik qiymati m larning kamida bittasiga a,b segmentning ichki ca c b nuqtasida erishadi. Ferma teoremasiga asosan bu nuqtada

f (c)  0
bo’ladi. ►

Download 243,95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish