Funksiyaning hosilasi va differensiali

4⁰. Makloren formulasi. f (x) funksiyaning (6.27)Teylor formulasida x₀  0 deb olinsa,ushbu f (x)  f (0)  f (0)  f (0) 2 f ⁽ⁿ⁾ (0) xn  rn(x) (6.38)
1! x 2! x  _n!

formula hosil bo’ladi. Bu holda qoldiq had r_n (x) quyidagicha: 1 ^n1 1ⁿ f ^(n1)(x) ,

1. 
   Koshi ko’rinishida: r_n(x)  x 
   

n!

2. 
   Lagranj ko’rinishida: r_n (x)  x^n1 f (n1)(_x), (n 1)!
   

v) Peano ko’rinishida: r_n(x)  0(xⁿ) 01yozilishi mumkin.
Yuqoridagi (6.38) formula f (x) funksiyaning Makloren formulasi deb ataladi.
Ushbu

f (0) f (0) ² f ^n1(^x) x^n1, 01 f (x)  f (0)  1! x  x  _{(n 1)!
2!}
Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasini qaraylik. Bu formulaning qoldiq hadini baholaymiz. Faraz qilaylik, shunday M son mavjud bo’lsinki, argument x ning x₀  0 nuqta atrofidagi qiymatlarida, hamda nN ning barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsin. U holda ushbu
tengsizizlikka ega bo’lamiz. x ning har bir tayin qiymatida
lim  0 ^n (n 1)!
limit o’rinli bo’lishini etiborga olsak, u holda n ning yetarli katta qiymatlarida r_n (x) yetarli kichik bo’lishini ko’ramiz. Demak, x₀  0 nuqta atrofida f (x) funksiyani
f (0) f (0) ² f ⁿ(0) xⁿ
f (0)  1! x  2! x  _n!
ko’phad bilan almashtirish mumkin. Natijada ushbu

f (0) f (0) ² f ⁿ(0) xⁿ f (x)  f (0)  x  x  n!
1! 2!
taqribiy formula kelib chiqadi.
5⁰. Elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi.
1) f (x)  e^x bo’lsin. Bu funksiya uchun f ^n(x)  e^x va f (0) 1 f ^n(0) 1 (n 1,2,3) bo’ladi.U holda

^x 1 1x!  x22!  xnn!  r_n(x) e 
bo’lib, uning qoldiq hadi esa Lagranj ko’rinishida quyidagicha yoziladi:
r_n (x)  xn1 ex 01 (n 1)!
Har bir x a,a (a  0) da e^x  e^a bo’lkshini etiborga olsak, unda

r_n (x)  an1 a e
(n 1)!
tenglik kelib chiqadi va n da an1 ea ifoda va demak, rn (x) ham (n 1)!
nolga intiladi. Natijada f (x)  e^x funksiya uchun quyidagi

x x² xⁿ e^x 11! 2!  _n!
taqribiy formulaga ega bo’lamiz. Bu formuladan, xususan, x 1 bo’lganda, e sonini taqribiy hisoblash imkonini beradigan ushbu

^x 1 11!  22!  _n1_! e 
formula hosil bo’ladi. Bu holda r_n (1)  .
2). f (x) sin x bo’lsin. Ma’lumki, bu funksiyaning n tartibli hosilasi uchun f ⁿ(x)  (sin x)^n  sin(x  n^ ) formula o’rinli. Ravshanki, f (0)  0 va 2
^n(0)  sin n_  _ 0, n2-₁ agar n- juft bo'lsa,
f
² 1 , agar n - toq bo'lsa.
f (x) sin x funksiyaning Makloren formulasi ntoq son bo’lganda
x3 x5 x7 ^n1 n
sin x  x  3!  5!  7!  1^ n!  r_n (x)
ko’rinishda yoziladi. Bu formulaning qoldiq hadi Lagranj ko’rinishda yoziladi:
xn2  r_n (x)  sin(x  n ) 01 (n  2)! 2
Ravshanki, x a,a (a  0) da
an2

r_n (x) 
(n  2)!
an2
bo’lib, n da ifoda va demak, r_n (x) ham nolga (n  2)!
intiladi.Shunday qilib, ntoq son bo’lganda ushbu

x3 x5 x7 ^n1 n sin x  x  3!  5!  7!  1^ n!
taqribiy hisoblash formulasiga ega bo’lamiz.
3). f (x)  cos x bo’lsin. Bu funksiyaning n tartibli hosilasi uchun f ⁿ(x)  (cos x)^n  cos(x  n^ ) formula o’rinli.
2 Ravshanki, f (0) 1 va
f n(0) _ cos n2 _ _01, n2 , agaragar nn- toqjuft bo'bo'lsa.lsa,
f (x)  cos x funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
x2 x4 x6 n
cos x 1 2!  4!  6!  1^ n!  r_n (x)
(njuft son) ko’rinishda yoziladi. Bu formulaning qoldiq hadi Lagranj
xn2  ko’rinishda yoziladi: r_n (x)  cos( x  n ) 01
(n  2)! 2
Demak,
x2 x4 x6 n

cos x 1 2!  4!  6!  1^ _n!
4). f (x)  ln(1 x) bo’lsin. Ma’lumki, bu funksiyaning ntartibli hosilasi uchun ushbu
f (n) (x)  (ln(1 x))n  (1)n1 ((1nx1))!n
formula o’rinli. Ravshanki, f (0)  0 f_0^n_^  (1)^n1(n 1)!. Shuni etiborga olib, berilgan funksiyani Makloren formulasini yozamiz:
x2 x3 x4 n1 xn

ln(1 x)  x  2  3  4  1^ _n  r_n(x) (6.38)
Bu formulaning qoldiq hadi r_n (x) ni baholashda uning Lagranj hamda
Koshi ko’rinishlaridan foydalanamiz.
a). 0 x 1 bo’lsin. Bu holda (6.38) formulaning Lagranj ko’rinishidagi
rn (x)  (n (1)n xn1 n1 01 1)(1 x)
qoldiq hadini olib, uning uchun quyidagi
(1)n xn1 1

rn (x)  (n 1)(1 n1  n 1
x)
bahoga ega bo’lamiz.
b). a  x  0 0  a 1 bo’lsin. Bu holda (6.38) formulaning Koshi
ko’rinishidagi
r_x (x)  1ⁿ xⁿ¹  (11 )n 0 1 1 (6.39)
(1₁x)n 1
qoldiq hadini olamiz. (6.39) tenglikni quyidagicha yozamiz:
11 ⁿ n1
n x
rx(x)  1 11x  11x

o’zgaruvchi x ning  a  x  0, (0 a 1) qiymatlarida
11 1 1₁x
tengsizlik o’rinli bo’lishini hisobga olib, topamiz:
ⁿ n 1

r (x)  1_n 111₁x 1x1x  1xn11x  1ana1 . 
Demak, ln(1 x) funksiya uchun quyidagi


ln(1 x)  x  x22  x33  x44  (1)_n₁  xnn
taqribiy hisoblash formulasi hosil bo’ladi.
5). f (x)  (1 x)^ bo’lsin, bunda R bu funksiyaning ntartibli hosilasi uchun f ^n(x)  ((1 x)^)^n (1)(n 1)(1 x)^n formulaga ega-miz. Ravshanki, f (0) 1 , f ^n(0) (1)(n 1) . f (x)  (1 x)^ funksiya-ning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
(1 x) 1x (1) x2 (1)n!( n 1) xn  rn(x),
1! 2!
qoldiq had r_n (x) esa ushbu
rn(x) (1)( n 1) (1 x)an1(1)n xn1
n!
Koshi ko’rinishida yoziladi. Endi x 1 bo’lganda
r_n (x)  (1^1) (1^2)(1^_n) (1 x)^{1 n1} 
 (1^1) (1^2)(1^n) (1 x)^1
bo’lib, n da nolga intiladi.
Xususan, n bo’lsa, u holda r_n (x)  0 bo’lib, ushbu

(1_ x)n _1_ n x _ n(n 1) x2 __ n(n 1)n(!n  n 1) xn
1! 2!
Nuyton binomi formulasiga kelamiz.
Shunday qilib, bu holda ushbu

(1_ x)n _1_^x _(^1) x2 __(1)n!( n 1) xn
1! 2!
taqribiy formulaga egamiz.
Biz yuqorida elementar funksiyalarning Makloren formulalarini keltirdik. Bu formulalarning qoldiq hadlarini asosan Lagranj ko’rinishida yozib, so’ngra ularni baholadik. Elementar funksiyalarning Makloren formulalarida ularning qoldiq hadlarini boshqa ko’rinishlarda ham yozish mumkin. Masalan, elementar funksiyalarning Peano ko’rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulalari quyidagicha yoziladi, (x 0)

1. 
   e^x 1 1x!  x22!  xnn!  n ), o(x
   
2. 
   sin x  x  x3!3  x55!  x77!  (1) n 1 xnn!  o(x_n ),
   

(bunda n toq son),

3. 
   cos x 1 x2 x4 x6  n2  xnn!  o(xn )
   

   (1)
2! 4 6
(bunda n  juft son),

4. 
   ln(1 x)  x  x22  x33  x44  (1)n1 xnn  o(xn ),
   

5. 
   (1 x) 1x (1) x2 (1)n!( n 1) xn  o(xn ).
   

1! 2!
Odatda bu formulalar asimptotik formulalar deyiladi.