Funksiyalarni teyler va makloren qatorlariga yoyish

FUNKSIYALARNI TEYLER VA MAKLOREN QATORLARIGA YOYISH

REJA

•  
•  1.Teylor qatori.
• 2. Makloren qatori.
• 3. Elementar funktsiyalarni darajali qatorlarga yoyish.
•  

• 1. TEYLOR QATORI
• f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.
• Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
• f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… (1)
• (1) qatorning koeffisiyentlari va x0 nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x0) =x0 (2)
• dan iborat bo`ladi.
• f(x) funktsiya x0 nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:
• f`(x)=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+…+nan(x-x­0)n-1+… (3)
• Bundan, x = x0 bo`lgan holda
• f`(x0)=a1 (4)
• ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:
• (5)
• x = x0 bo`lganda
• . (6)
• Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:
•  

• (2), (4), (6) va (7) lardan (1)- qator koeffisiyentlarini topamiz:
• , , ,…, ,… (8)
• a0­­, a1, a2,… an lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.
• Agar (8)- qatordagi a0­­,, a1,…an larning qiymatlari (1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x0 nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:
• (9)
• f(x) funktsiyaning x0 nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:
• Rn (x) – qoldiq had.
• Bunda, .

• 2. MAKLOREN QATORI
•  
• Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
• (1)
• Bundagi a0, a1, a2, a3,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:
• Hosil bo`lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a0, a1, a2, a3,… larga ega bo`lamiz:

• Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:
• (2)
• Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.
• formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.
• Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.

• 3. ELEMENTAR FUNKTSIYaLARNI DARAJALI QATORLARGA YoYISh
•  
• 1.f(x) =ex funktsiyani x darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish.
• Yechilishi: ex ning hosilalarini ketma–ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz:
• , , , ,…
• x=0 bo`lganda:
• , , , ,…
• Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi:
•  
• 2. f(x) = sinx funktsiyani Makloren qatoriga yoyish.
• Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:
• x =0 nuqtada ularning qiymatlarini topamiz va Makloren qatoriga qo`yamiz:

• 3.f(x) = cos x funktsiyaning yoyilmasi.
• Yechilishi: f(x) = cos x funktsiyaning hosilalarini topamiz:
• …
• x = 0 nuqtada topilgan hosilalarning qiymatlarini aniqlaymiz:
• Topilgan qiymatlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:
• 4.f(x) = (1+x)k – Nyuton binomining yoyilmasi.
• Yechilishi: Berilgan Nyuton binomidan ketma – ket hosilalar olamiz:
• ,…
• x = 0 nuqtada qiymatlarini topamiz:
• Topilganlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:
•  

• 5. ko`phadni (x - 1) ning darajasi bo`yicha qatorga yoyish.
• Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:
• x=1 nuqtada ko`phad va uning hosilalari qiymatlarini topamiz:

• Topilgan qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz:
•  
• 6. funktsiyani x = 0 nuqtada Teylor qatoriga yoyish.
• Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:
• , ,
• Qiymatlarini topib, Teylor qatoriga qo`yamiz:
• , , , ,…,
• U holda,
• 7. ko`phadni x–2 ning o`suvchi darajasi tartibida Teylor qatoriga yoying.
• Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:
• , ,
• Hosilalarning son qiymatini topish uchun x ning o`rniga 2 ni qo`yamiz, ya`ni x=2:
• , , , .
• Bu qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz: