Funksiya ta’rifi, berilish usullari. Funksiyaning chegaralanganligi. Reja: Kirish I bob. Funksiya ta’rifi

II bob. Funksiyaning chegaralanganligi.
2.1. Chegaralangan, qavariq va botiq funksiyalar haqida tushuncha.
V₁  D(y) nuqtalar to’plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V₁ da erishadigan qiymatlari to’plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, funksiya V₁ da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.
y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V₁ nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
V₁  D(y) nuqtalar to’plamida ham quyidan va ham yuqoridan che-garalangan funksiyaga, V₁ to’plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V₁ = D(y) bo’lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to’plami chegaralangan sonlar to’plamidan iborat bo’ladi.
Agar y = f (M) funksiya V₁ to’plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo’lsa, V₁ to’plamga tegishli {M_k} nuqtalar ketma-ketligi mavjudki, ( ) munosabat o’rinlidir.
Misollar:
1) bir o’zgaruvchili y = x² funksiya aniqlanish sohasi R₁ da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);
2) ikki o’zgaruvchili funksiya o’z aniqlanish sohasi D(y) = {M(x₁; x₂) є R₂ | x₁² + x₂² ≤ 1} to’plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1].
y = f (M) funksiya qavariq V  R_n nuqtalar to’plamida aniqlangan bo’lsin.
V qavariq to’plamga tegishli har qanday ikki M₁(x₁; x₂; …; x_n) va M₂(u₁; u₂; …; u_n) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M₁) + (1-α) f (M₂) (f (P) ≥ α f (M₁) + (1–α) f (M₂)) tengsizliklar o’rinli bo’lsa, bu yerda R(α x₁ +(1–α)u₁; α x₂ +(1–α)u₂; …; αx_n +(1-α)u_n), u holda, y = f (M) funksiya V to’plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.
Masalan, y = x² funksiya R₁ da qavariq funksiyaga misol bo’lsa, y = -x² funksiya esa R₁ da botiq funksiyaga misol bo’ladi. n o’zgaruvchili chiziqli y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_nx_n funksiya R_n fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir.
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:
1. –f (M) funksiya V to’plamda botiq bo’lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo’ladi.
2. f₁(M) va f₂(M) funksiyalar V to’plamda qavariq bo’lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k₁ va k₂ koeffitsientli chiziqli k₁f₁(M) + k₂f₂(M) kombinatsiyasi V to’plamda qavariq bo’ladi.
3. f (M) funksiya V to’plamda qavariq bo’lib, {M є V | f (M) ≤ b} to’plam bo’sh bo’lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to’plamning o’zi ham qavariq to’plamdir.
Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o’xshash xossalarga ega.
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to’plamda aniqlangan bo’lib, nuqta V to’plamning quyuqlanish nuqtasi bo’lsin. Funksiya limitining bir-biriga o’zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta’riflari mavjud.
Ko’p o’zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta’riflanadi: Har bir hadi V to’plamga tegishli va M₀ quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi M₀ nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M₁),  f (M₂), …,  f (M_k), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi va
yoki
ko’rinishda yoziladi.
Xususan, bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x₀ songa intiluvchi argument qiymatlari x₁, x₂, …, x_k, … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda x_k є V, x_k ≠ x₀ (k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x₁),  f (x₂),  …,  f (x_k),  … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x) funksiyaning  x → x₀ dagi limiti deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
Funksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta’riflanadi:
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning δ atrofi S_δ(M₀) ni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V,  M ≠ M₀ nuqtalar uchun |f (M) - b| < ε tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi.
Xususiy holda, bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo’lsaki, V to’plamga tegishli va 0 < |x - x₀| < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir x uchun |f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x₀ dagi limiti deyiladi (1-rasm).
Yuqorida keltirilgan ta’riflardan birini qo’llab, masalan,

1. 
   , 2) yoki 3) mavjud emasligini isbotlash mumkin.
   

1-rasm
Quyida sanab o’tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta’riflar asosida isbotlanadi.

1. 
   (1-ajoyib limit asosiy shakli).
   

2. . 3. . 4. .
5. . (2-ajoyib limit asosiy shakli).
6. . 7. .
8. . 9. .
Limitga ega funksiyalar o’zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:
1) y = f (M) funksiya M → M₀ da limitga ega bo’lsa, us hbu limit yagonadir;
2) y = f (M) funksiya M → M₀ da chekli limitga ega bo’lsa, M ₀ nuqtaning δ atrofi S_δ(M₀) mavjudki, S_δ(M₀) ∩ V  to’plamda f (M) funksiya chegaralangan bo’ladi.