Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi

Cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalar. 
Aytaylik, 
 
x

hamda 
 
x

funksiyalar 
R
X

to‘plamda berilgan bo‘lib, 
R
x

0
nuqta 
X
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 
1-ta’rif.
 ([2], p. 130, Def. 5.8) Agar 
0
)
(
lim
0


x
x
x

 
bo‘lsa, 
 
x

 funksiya 
0
x
x

 da 
cheksiz kichik funksiya 
deyiladi. 
Masalan, 
0

x
 da 
 
x
x
sin


 funksiya cheksiz kichik funksiya bo‘ladi. 
2-ta’rif.
 ([2], p. 130, Def. 5.8) Agar 



)
(
lim
0
x
x
x

 
bo‘lsa, 
 
x

 funksiya 
0
x
x

 da 
cheksiz katta funksiya 
deyiladi. 
Masalan, 
0

x
da 
x
x
1
)
(


funksiya cheksiz katta funksiya bo‘ladi. 
Cheksiz kichik hamda cheksiz katta funksiyalar cheksiz kichik hamda cheksiz katta 
miqdorlar kabi xossalarga ega bo‘ladi: 
1) Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalar yig‘indisi cheksiz kichik funksiya bo‘ladi; 
2) Chegaralangan funksiyaning cheksiz kichik funksiya bilan ko‘paytmasi cheksiz kichik 
funksiya bo‘ladi; 
3) Agar 
 
x

 


0
x


cheksiz kichik funksiya bo‘lsa, 
)
(
1
x

cheksiz katta funksiya 
bo‘ladi. 
4) Agar 
 
x

cheksiz katta funksiya bo‘lsa, 
)
(
1
x

cheksiz kichik funksiya bo‘ladi. 
2
1
2
2
sin
lim
2
2
sin
lim
2
1
0
0
















x
x
x
x
x
x

---

 
 
“
O
” va “
o
”
 belgilar, ularning xossalari. 
Faraz qilaylik, 
 
x
f
va 
 
x
g
funksiyalari 
R
X

to‘plamda berilgan bo‘lib, 
0
x
nuqta 
X
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 
3-ta’rif.
 ([2], p. 123, Def. 5.1) Agar shunday o‘zgarmas 
0

C
 soni va shunday 
0


 
son topilsaki, 
})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x




 uchun 
|
)
(
|
|
)
(
|
x
g
C
x
f

 
tengsizlik bajarilsa, ya’ni
|
)
(
|
|
)
(
|
:
})
{
\
)
(
(
,
0
,
0
0
x
g
C
x
f
x
x
U
X
x
R
C











 
bo‘lsa, 
0
x
x

 da 
 
x
f
 funksiya 
 
x
g
 funksiyaga nisbatan 
chegaralangan 
deyiladi va 
 
 


x
g
O
x
f

 kabi belgilanadi. 
Agar
|
)
(
|
|
)
(
|
:
|
|
,
,
,
x
g
C
x
f
d
x
x
R
d
R
C








 
bo‘lsa, 



0
x
x
 da 
 
x
f
 funksiya 
 
x
g
 funksiyaga nisbatan 
chegaralangan 
deyiladi va 
yuqoridagidek 
 
 


x
g
O
x
f

 kabi belgilanadi. 
Masalan, 
0

x
 da 
 
x
O
x

2
 bo‘ladi, chunki 


1
,
1


x
 da 
x
x

2
. ([2], p. 126, 
i)) 
Agar 
 
x
f
funksiya 
0
x
nuqta atrofida chegaralangan bo‘lsa, 
0
x
x

da 
 
 
1
O
x
f

kabi yoziladi. 
“
O
” ning xossalari ([2], p. 125, Properties): 
1)
 
Agar 
b
x
g
x
f
x
x


)
(
)
(
lim
0
 
bo‘lsa, 
0
x
x

 da 
 
 


x
g
O
x
f

 bo‘ladi. 

---

2)
 
Agar 
0
x
x

 da 
 
 


x
g
O
x
f

 va 
 
 


x
h
O
x
g

 bo‘lsa, u holda 
0
x
x

 da 
 
 


x
h
O
x
f

 bo‘ladi. Demak, 
0
x
x

 da 
 




 


x
h
O
x
h
O
O

. 
3)
 
Agar 
0
x
x

 da 
 
 


x
g
O
x
f

 va 
 
 


x
g
O
x
h

 bo‘lsa, u holda 
0
x
x

 da 
   
 


x
g
O
x
h
x
f


 bo‘ladi.
4)
 
Agar 
0
x
x

 da 
 
 


x
g
O
x
f
1
1

 va 
 
 


x
g
O
x
f
2
2

 bo‘lsa, u holda 
0
x
x

 
da 
   
 
 


x
g
x
g
O
x
f
x
f
2
1
2
1



 bo‘ladi.
4-ta’rif.
 ([2], p. 124, Def. 5.1) Agar har qanday 
0


 son olinganda ham shunday 
0


 son topilsaki, 
0
0
(
( ) \ { })
x
X
U
x
x

 
 
uchun 
|
)
(
|
|
)
(
|
x
g
x
f


 
tengsizlik bajarilsa, ya’ni
|
)
(
|
|
)
(
|
:
})
{
\
)
(
(
,
0
,
0
0
0
x
g
x
f
x
x
U
X
x












 
bo‘lsa, 
0
x
x

 da 
 
x
f
 funksiya 
 
x
g
 funksiyaga nisbatan 
yuqori tartibli cheksiz kichik 
funksiya
 deyiladi va 
 
 


x
g
o
x
f

 yoki 
 
g
o
f

 kabi belgilanadi. 
“
o
” ning xossalari ([2], p. 125, Properties): 
Agar 
0
x
x

 da 
 
g
o
f

 bo‘lsa, u holda 
0
x
x

 da 
 
g
O
f

 bo‘ladi. 
1)
 
Agar 
0
x
x

 da 
 
g
o
f

, 
 
h
o
g

 bo‘lsa, u holda 
0
x
x

 da 
 
h
o
f

 bo‘ladi. 
Demak, 
 

  
h
o
h
o
o

. 
2)
 
Agar 
0
x
x

 da 
 
g
o
f

1
, 
 
g
o
f

2
 bo‘lsa, u holda 
0
x
x

 da 
 
g
o
f
f


2
1
 
bo‘ladi. 
3)
 
Agar 
0
x
x

da 
 
1
1
g
o
f

, 
 
2
2
g
o
f

bo‘lsa, u holda 
0
x
x

da 


2
1
2
1
g
g
o
f
f



 bo‘ladi. Demak, 
    

2
1
2
1
g
g
o
g
o
g
o



. 
 
Funksiyalarning ekvivalentligi.

---

Aytaylik, 
 
x
f
va g(x) funksiyalari 
R
X

to‘plamda berilgan bo‘lib, 
0
x
nuqta 
X
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 
5-ta’rif.
 ([2], p. 124, Def. 5.1) 
0
x
x

 da 
 
x
f
 va 
 
x
g
 funksiyalar (
0
x
x

 da 
 
0

x
g
) uchun 
1
)
(
)
(
lim
0


x
g
x
f
x
x
 
bo‘lsa, 
0
x
x

 da 
 
x
f
 va 
 
x
g
 
ekvivalent funksiyalar
 deyi-ladi va 
 
 
~
f x
g x
 


0
x
x

 kabi belgilanadi. 
Masalan, 
0

x
 da 
 
x
x
f
sin

 va 
 
x
x
g

 funksiyalar ekvivalent funksiyalar 
bo‘ladi: 
sin ~
x
x
 


0
x

. ([2], p. 124, Example 5.3) 
1-teorema. 
0
x
x

da 
 
x
f
va 
 
x
g
funksiyalar (
0
x
x

da 
 
0

x
g
) ekvivalent 
bo‘lishi uchun 
 
 
 


x
g
o
x
f
x
g


tenglikning o‘rinli bo‘lishi zarur va etarli. 
Zarurligi. 
0
x
x

da 
   
x
g
x
f
~
bo‘lsin. Ta’rifga binoan
1
)
(
)
(
lim
0


x
g
x
f
x
x
bo‘lib, undan 
0
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
1
lim
0
0












x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
x
x
x
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, 
 
 
 


x
g
o
x
f
x
g


. 
Yetarliligi.
0
x
x

da 
 
 
 


x
g
o
x
f
x
g


bo‘lsin. U holda 
0
x
x

da
)
(
))
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
x
g
x
g
o
x
g
x
f
x
g
x
g
x
f





---

bo‘lib, undan 
0
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
1
lim
0
0












x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
x
x
x
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa 
1
)
(
)
(
lim
0


x
g
x
f
x
x
ya’ni 
   
x
g
x
f
~
ekanini bildiradi.
“

” ning xossalari: 
1)
0
x
x

da 
   
x
g
x
f
~

1
)
(
)
(
lim
0


x
g
x
f
x
x
. 
2)
Har qanday funksiya uchun 
0
x
x

da 
 
 
x
f
x
f
~
bo‘ladi. 
3)
Agar 
0
x
x

da 
   
x
g
x
f
~
, 
   
x
h
x
g
~
bo‘lsa, 
0
x
x

da 
   
x
h
x
f
~
bo‘ladi. 
4)
Agar 
0
x
x

da 
 
 
x
g
x
f
1
1
~
, 
 
 
x
g
x
f
2
2
~
bo‘lsa, 
0
x
x

da 
   
 
 
x
g
x
g
x
f
x
f
2
1
2
1
~


bo‘ladi. 
Funksiyaning asimptotik yoyilmasi. Aytaylik, 
0
)
(
)
(
lim
1
1
0




const
c
x
g
x
f
x
x
bo‘lsin. Unda 
0
x
x

da 
 
 
x
g
c
x
f
1
~
bo‘lib,
 
 
 


x
g
o
x
g
c
x
f
1
1
1


bo‘ladi. Bu holda 
 
x
g
c
1
1
funksiya 
0
x
x

da 
 
x
f
funksiyaning 
bosh qismi
deyiladi. 
Faraz qilaylik, 
0
x
x

da 
 
x
g
c
2
2


0
2


const
c
funksiya 
 
 
x
g
c
x
f
1
1

ning 
bosh qismi bo‘lsin. U holda 
0
x
x

da
 
 
 
x
g
c
x
g
c
x
f
2
2
1
1
~

bo‘lib, 

---

 
 
 
 


x
g
o
x
g
c
x
g
c
x
f
2
2
2
1
1



bo‘ladi. 
Bu jarayonni 
n
marta takrorlab, 
0
x
x

da 
 
x
f
funksiyani quyidagicha yozish 
mumkin: 
 
 
 
 
 


x
g
o
x
g
c
x
g
c
x
g
c
x
f
n
n
n






2
2
1
1
(1) 
bunda 
0

i
c
va 
 
 


1
i
i
g
x
o g x




1,2,
,
i
n

. 
Odatda, (1) formula 
0
x
x

da 
 
x
f
funksiyaning 
asimptotik yoyilmasi
deyiladi. 
Endi funksiyalarning ekvivalentligiga asoslangan holda funksiyalarning limitini 
hisoblashda foydalaniladigan teoremani keltiramiz. 
2-teorema.
 ([2], p. 128, Prop. 5.5) Agar 
0
x
x

 da 
 
 
x
f
x
f
2
1
~
, 
 
 
x
g
x
g
2
1
~
 
bo‘lib, ushbu 
)
(
)
(
lim
1
1
0
x
g
x
f
x
x

 
limit mavjud bo‘lsa, u holda 
)
(
)
(
lim
2
2
0
x
g
x
f
x
x

 
limit ham mavjud va 
0
0
2
1
2
1
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
x
x
x
f x
f x
g x
g x



 
bo‘ladi. 
Aytaylik, 
0
x
x

 da 
 
 
x
f
x
f
2
1
~
, 
 
 
x
g
x
g
2
1
~
 bo‘lsin. Unda ravshanki, 
0
x
x

 
da 
 
 
 


x
f
o
x
f
x
f
1
1
2


, 
 
 
 


x
g
o
x
g
x
g
1
1
2


 

---

bo‘ladi. Bu munosabatlardan foydalanib topamiz: 
)
(
)
(
lim
))
(
(
)
(
))
(
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
1
1
1
1
1
1
2
2
0
0
0
x
g
x
f
x
g
o
x
g
x
f
o
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x







.
Misol.
Ushbu 
2
0
2
cos
cos
lim
x
x
x
x


limit hisoblansin. 
Ravshanki,
2
0
2
0
2
sin
2
3
sin
2
lim
2
cos
cos
lim
x
x
x
x
x
x
x
x





Endi 
)
(
2
3
2
3
sin
x
o
x
x


va 
)
(
2
2
sin
x
o
x
x


bo‘lishini e’tiborga olib, topamiz: 
 
 
 
2
3
4
3
lim
2
2
1
2
3
lim
2
2
sin
2
3
sin
2
lim
2
2
2
0
2
0
2
0






















x
x
o
x
x
x
o
x
x
o
x
x
x
x
x
x
x
. 
Demak, 
2
3
2
sin
cos
lim
2
0



x
x
x
x
.
Adabiyotlar 
1.
Tao T.
Analysis 1
. Hindustan Book Agency, India, 2014. 
2.
Canuto C., Tabacco A.
Mathematical analysis I.
Springer-Verlag, Italia, 2008. 
3.
Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. 
Matematik 
analizdan ma’ruzalar, I q. 
T. “Voris-nashriyot”, 2010. 
4.
Фихтенгольц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1 т.
М. «ФИЗМАТЛИТ», 2001.