Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi

---

9-ma’ruza 
Mavzu. Funksiya limiti ta’riflari. Limitga ega bо‘lgan funksiyalarning xossalari. Funksiya 
limitining mavjudligi haqida teoremalar. Muhim limitlar. Cheksiz kichik va cheksiz katta 
funksiyalar. Funksiyalarni taqqoslash.Tatbiqlari. 
 
 Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi. 
Faraz qilaylik, 
funksiya 
to‘plamda berilgan bo‘lib, 
nuqta 
to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin. 
nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy 
: 
ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat 
: 
ketma-ketlikni hosil qilamiz. 
3-ta’rif.
(Geyne). Agar 
da 
bo‘ladigan ixtiyoriy 
ketma-ketlik uchun 
da 
bo‘lsa, 
ga 
funksiyaning
nuqtadagi limiti 
deyiladi va 
da 
yoki 
kabi belgilanadi. 
Eslatma.
Agar 
da 
va 
bo‘ladigan turli 
, 
ketma-ketliklar uchun 
da 
,
bo‘lib, 
bo‘lsa 
funksiya 
da limitga ega emas deyiladi. 
1-misol
. Ushbu
funksiyaning 
nuqtadagi limiti topilsin. 
◄ Quyidagi 
: 
ketma-ketlikni olaylik. Unda 
)
(
x
f
R
X

0
x
X
0
x
 
n
x
1
2
,
, ...,
,...
n
x x
x
0
(
,
)
n
n
x
X
x
x


)}
(
{
n
x
f
1
2
( ), ( ), ..., ( ),...
n
f x
f x
f x


n
0
n
x
x

0
(
,
)
n
n
x
X
x
x


}
{
n
x


n
b
x
f
n

)
(
b
)
(
x
f
0
x
0
x
x

b
x
f

)
(
b
x
f
x
x


)
(
lim
0


n
0
n
x
x

0
(
,
)
n
n
x
X
x
x


0
n
y
x

0
(
,
)
n
n
y
X
y
x


{ }
n
x
{ }
n
y


n
1
)
(
b
x
f
n

2
)
(
b
y
f
n

2
1
b
b

)
(
x
f
0
x
x

x
x
x
x
f
4
16
)
(
2
2



4
0

x
}
{
n
x
lim
4
n
n
x


(
4,
1, 2, ...)
n
x
n


n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
f
4
4
16
)
(
2
2






---

bo‘lib, 
da 
bo‘ladi. Demak,
► 
2-misol.
Ushbu 
funksiyaning 
dagi limiti mavjud bo‘lmasligi ko‘rsatilsin. 
◄ Ravshanki, 
da 
bo‘ladi. 
Bu ketma-ketliklar uchun 
, 
bo‘lib, 
da 
, 
bo‘ladi. Demak, berilgan funksiya 
nuqtada limitga ega emas. ► 
4-ta’rif.
(Koshi). ([1], p. 221, Def. 9.3.6) Agar 
son olinganda ham shunday 
topilsaki, 
uchun 
tengsizlik bajarilsa, 
soni 
funksiyaning
nuqtadagi limiti 
deyiladi:
. 
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
, 
, 
: 
bo‘lsa, 
. 
3-misol.
bo‘lsin. Bu funksiya uchun
bo‘ladi. 


n
2
)
(

n
x
f
.
2
4
16
lim
2
2





x
x
x
n
x
x
f
1
sin
)
(

0

x


n
2
0,
(4
1)
n
x
n

 


2
0
(4
1)
n
x
n

 


4
1
( )
1
2
n
n
f x


 
 
4
1
( )
1
2
n
n
f x


 



n
( )
1
n
f x
  
(
)
1
n
f x
 
0
0

x
0



0
)
(





})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x







|
)
(
|
b
x
f
b
)
(
x
f
0
x
b
x
f
x
x


)
(
lim
0
0



0
)
(






})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x







|
)
(
|
b
x
f
b
x
f
x
x


)
(
lim
0
( )
const
f x
C
 
C
x
f
x
x


)
(
lim
0

---

4-misol.
Ushbu 
funksiyaning 
nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani 
ko‘rsatilsin. 
◄ 
soniga ko‘ra 
deb olsak, u holda 
tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy 
da 
bo‘ladi. Demak, 
► 
5-misol.
Faraz qilaylik, 
da 
bo‘lsin. Bu funksiya uchun
bo‘ladi. 
◄Ma’lumki, 
uchun
bo‘ladi. Bu tengsizliklardan, funksiyalarning juftligini hisobga olib, 
da 
bo‘lishini topamiz. Keyingi tengsizliklardan esa 
bo‘lishi kelib chiqadi. 
Endi 
ni olib, 
deyilsa, unda 
, 
, 
uchun 
bo‘ladi. Demak, 
. ► 
6-misol.
Ushbu
1
1
)
(
2



x
x
x
f
1
0

x
0









|
1
|
x
)
1
(

x
x












|
1
|
|
2
1
|
2
1
1
2
x
x
x
x
.
2
1
1
lim
2
0




x
x
x
x
}
0
{
\
R
X

x
x
x
f
sin
)
(

1
sin
lim
0


x
x
x







2
,
0

x
tgx
x
x
2
1
2
1
sin
2
1


2
|
|
0



x
1
sin
cos


x
x
x
2
4
2
2
sin
2
cos
1
sin
1
0
2
2
2
x
x
x
x
x
x








0



}
1
;
min{



x

| |
x


0

x




x
x
sin
1
0
1
sin
lim
0


x
x
x

---

, 
, 
, 
funksiya uchun 
bo‘lishi isbotlansin. 
◄ 
bo‘lgan holni qaraylik. Bu holda 
funksiya qat’iy o‘suvchi bo‘ladi: 
. 
sonni olaylik. Ma’lumki, 
da
bo‘lib, ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan 
bo‘ladi. Endi 
deyilsa, unda
bo‘lganda 
bo‘ladi. Demak, 
. 
bo‘lganda 
bo‘lishini isbotlash o‘quvchiga havola etiladi. ► 
5-ta’rif. 
([2], p. 81, Def. 3.21) Agar 
 son olinganda ham shunday 
 son 
topilsaki, 
 uchun 
 tengsizlik bajarilsa, 
 
funksiyaning 
 nuqtadagi limiti 
 deb ataladi va 
 
kabi belgilanadi. 
Masalan, 
( )
x
f x
a

0
a

x
R

0
0
x

1
lim
0


x
x
a
1

a
)
(
x
f
2
1
:
)
(
)
(
,
,
2
1
2
1
2
1
x
x
a
a
x
f
x
f
x
x
R
x
x






0





n
1
,
1
1
1



n
n
a
a
,
1
:
,
1
1
1







n
a
n
n
N
n








1
:
,
1
2
2
n
a
n
n
N
n
0
2
1
0
1
},
,
max{
n
n
n
n



0
1
1
|
0
|
,
n
x
n
x
x





















|
1
|
1
1
1
1
0
x
x
n
x
n
a
a
a
a
a
1
lim
0


x
x
a
1
0


a
1
lim
0


x
x
a
0



0


})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x






)
(
x
f
)
(
x
f
0
x






)
(
lim
0
x
f
x
x

---

, 
funksiya uchun 
bo‘ladi. 
Aytaylik, 
funksiya 
to‘plamda berilgan bo‘lib, 
nuqta 
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 
6-ta’rif.
 ([2], p. 72, Def. 3.11) Agar 
 son olinganda ham shunday 
 
topilsaki, 
 
 uchun
 
tengsizlik bajarilsa, 
 soni 
 
funksiyaning
 
 
dagi limiti 
deyiladi va
 
kabi belgilanadi. 
7-misol.
Aytaylik, 
, 
, 
bo‘lsin. U holda 
bo‘ladi. 
◄ Haqiqatan ham, 
sonnni olaylik. Ravshanki, 
uchun 
. 
Demak, 
deyilsa, unda 
uchun 
bo‘ladi. ► 
8-misol.
Faraz qilaylik, 
bo‘lsin. Unda 
2
1
)
(
x
x
f

)
0
(

x




2
0
1
lim
x
x
)
(
x
f
R
X




0
x
X
0



0


,
X
x




x



|
)
(
|
b
x
f
b
)
(
x
f



0
x
b
x
f
x




)
(
lim
)
,
0
(



X



0
x
x
x
f
1
)
(

0
1
lim




x
x
0



0


x


1
1
0
1





x
x
x


1




x






1
1
0
1
x
x
R
X
N
m
a
a
x
x
f
x
m




,
,
1
,
)
(

---

bo‘lishini isbotlaymiz. 
◄ 
sonni olaylik. Ma’lumki, 
da 
bo‘ladi. Unda 
bo‘ladi.
Agar 
deyilsa, unda 
uchun 
bo‘ladi 
Demak, 
. ► 
9-misol. 
Ushbu 
munosabat isbotlansin. 
◄ 
sonni olamiz. Ma’lumki, 
da 
Limit ta’rifiga binoan, 
bo‘ladi. 
Endi 
desak, unda 
uchun 
0
lim




x
m
x
a
x
0




n
0
)
1
(


n
m
a
n









n
m
a
n
n
n
n
)
1
(
:
,
,
0
0
0
0
n
C

C
x


 
 






x
m
x
m
x
m
a
x
a
x
a
x
)
1
(
0
).
]
[
(
0
C
n
x


0
lim




x
m
x
a
x
e
x
x
x






 



1
1
lim
0





n
,
1
1
e
n
n






 
.
2
1
1
1
1
1
1
1
1
e
n
n
n
n
n
n






















0
0
0,
,
:
n
N
n
n

 
 
 
1
1
1
1
, 1
1
n
n
e
e
n
n




 

  

 

 



 

0
n
C

C
x



---

bo‘lib, 
bo‘ladi. Demak, 
. ► 
3-teorema.
 ([1], p. 222, Prop. 9.3.9) Funksiya limitining Koshi hamda Geyne ta’riflari 
ekvivalent ta’riflardir. 
◄ Koshi ta’rifiga ko‘ra soni 
 funksiyaning 
 nuqtadagi limiti bo‘lsin: 
 
Unda 
 
Bo‘lganda 
 
 
(1) 
bo‘ladi. 
nuqta 
to‘plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko‘ra 
ketma-ketlik 
topiladiki, 
 da 
 
 bo‘ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga 
binoan 
 
 
(2) 
bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan 
 uchun 
 
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa sonini Geyne ta’rifi bo‘yicha 
 funksiyaning 
 nuqtadagi 
limiti ekanini bildiradi. 
Endi 
 soni Geyne ta’rifi bo‘yicha 
 funksiyaning 
 nuqtadagi limiti bo‘lsin. 
Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni 
 funksiyaning 
 nuqtadagi limiti Geyne ta’rifi 
bo‘yicha ga teng bo‘lsa ham, Koshi ta’rifi bo‘yicha limiti bo‘lmasin. Unda biror 
 
uchun ixtiyoriy 
 son olinganda ham 
 ni qanoatlantiruvchi biror 
 da 
 

















 












e
x
x
x
e
x
x
x
1
]
[
]
[
]
[
1
1
1
1
1
]
[
1
1








 
e
x
x
1
1
e
x
x
x






 


1
1
lim
b
)
(
x
f
0
x
b
x
f
x
x


)
(
lim
0
0
0
,
|
|
,
,
0
,
0
x
x
x
x
X
x















|
)
(
|
b
x
f
0
x
X
}
{
n
x


n
0
x
x
n




,
2
,
1
,
0


n
x
x
n
,
|
|
:
,
,
0
0
0
0









x
x
n
n
N
n
n
0
n
n





b
x
f
n
)
(
b
)
(
x
f
0
x
b
)
(
x
f
0
x
)
(
x
f
0
x
b
0
0


0






|
|
0
0
x
x
x

0
|
)
(
|




b
x
f

---

bo‘ladi. 
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi {
} ni olaylik: 
 da 
 
. 
U holda 
 
 
(3) 
bo‘ladi. Ammo 
, da 
, demak, Geyne ta’rifiga asosan 
 
bo‘ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, soni Koshi ta’rifi bo‘yicha ham, 
 funksiyaning 
 
nuqtadagi limiti bo‘ladi. ► 
Funksiyaning o‘ng va chap limitlari. Aytaylik, 
funksiya 
to‘plamda 
berilgan, 
nuqta 
ning chap limit nuqtasi bo‘lib, 
bo‘lsin. 
7-ta’rif.
 ([2], p. 82, Def. 3.22) Agar 
 
bo‘lsa, son