Ekvivalent funksiyalar

Ekvivalent funksiyalar
5.3-5.6 dagi -Grinning silliqlangan ochiq to‘plamini bildiradi.
dagi barcha manfiy bo‘lmagan funksiyalar to‘plamini bilan belgilaymiz.
5.3.1-Ta’rif: Agar va bo‘lsa, u holda dagi funksiyaning ekvivalent funksiyasi quyidagicha da aniqlanadi:

3.7.5-Teoremaga ko‘ra quyidan yarim uzluksiz da supergarmonik regularizatsiyasi ning barcha joyida deyarli bo‘ladi va ushbu

tenglik kelib chiqadi. ga dagi funksiyaning regularizatsiyalangan ekvivalent funksiyasi deyiladi.
da bo‘lganda, da va da ekanligi ko‘rishimiz mumkin.
Masalan 3.5.2: , , va . Bu yerda bo‘lganda bo‘ladi.
Agar polyar to‘plam va bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Agar va bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Lemma 5.3.3: to‘plam berilgan bo‘lsin. Ushbu shartlar ekvivalentdir:

1. 
   polyar to‘plam;
   
2. 
   da bo‘lgan funksiyaning musbat subgarmonik funksiyasi mavjud;
   
3. 
   dagi har bir funksiya uchun .
   

Isbot: 5.3.2 ga ko‘ra agar a o‘rinli bo‘lsa c ham o‘rinli bo‘ladi, huddi shunday c o‘rinli bo‘lsa b ham o‘rinli bo‘ladi.
Bundan ko‘rinadiki har bir shartni bitta elementi uchun o‘rinli ekanligini ko‘rsatib, 5.3.2 ni qo‘llasak, barcha shartlar ekvivalent ekanligini ko‘rishimiz mumkin. Lemma isbotlandi.
Teorema 5.3.4:
I. Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
II. Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
III. da funksiyalar teng va garmonik bo‘ladi.
IV. Agar polar to‘plam bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
V. Agar ochiq to‘plam bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
VI. Agar finit va uzluksizfunksiya ochiq to‘plamda to‘liq joylashsa, u holda

bo‘ladi.
Isbot: (I) va (II) 5.3.1 ga ko’ra o’rinli. 3.6.2 teoremaga ko’ra (III) ham o‘rinli
Teorema: Agar to ‘plam da kompakt to‘plam va bo‘lsa, u holda
potensialdir.
5.3.4 teoremaga ko‘ra isbotlanadi.
Lemma:
a) berilgan bo‘lsin. Agar kompakt to‘lamda o‘suvchi ketma-ketlik berilgan va ochiq to‘lam bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
b) uzluksiz va subgarmonik bo‘lsin. Agar kompakt to‘lam kamayuvchi ketma-ketligi va bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Teorema 5.3.7:
1). Bizga da kichik yopiq polyar qismiy to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar bo‘lsa, u holda chegaralangan uzluksiz potensial bo‘ladi. Xususan, agar kompakt bo‘lsa, unda chegaralangan garmonik funksiya da mavjud va subgarmonik bo‘ladi.
2) Bizga da yoiq qismiy to‘plam berilgan bo‘lsin. U holda yuqoridan chegaralangan uzluksiz logarifmik potensial bo‘ladi. Bu yerda bo‘ladi.
Teorema-5.3.8 (Myrberg). da bo‘sh bo‘lmagan ochiq to‘plam berilgan bo‘lsin. Quyidagilar ekvivalent:

1. 
   - Grinian;
   
2. 
   qutbsiz;
   
3. 
   funksiya da garmonik majarantaga ega;
   
4. 
   o‘zgarmas bo‘lmagan funksiyani o‘z ichiga oladi.