Funksional chiziqli funksional ta’rifi, asosiy xossalari chiziqli funksional normasi. Xan-Banax teoremasi

ta'rif. Agar H Hilbert fazosida aniqlangan A operator har qanday kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi.

6.2. Gilbert fazolarida o‘z-o‘ziga qo‘shma kompakt operatorlar.
X va Y − chiziqli normalangan fazolar, A : X → Y chiziqli chegaralangan operator bo`lsin. f : X → C funksionalning x nuqtadagi qiymatini (f, x) deb belgilaymiz.
ta'rif. Agar biror : → chiziqli chegaralangan operator va barcha x ∈ X, g ∈ lar uchun (g, Ax) = ( g, x) tenglik o`rinli bo`lsa, operator A ga qo`shma operator deyiladi.
Hilbert fazosida qo`shma operator quyidagicha ta'rifanadi.
ta'rif. H Hilbert fazosi va A ∈ L(H) operator berilgan bo`lsin. Agar biror : H → H operator va ixtiyoriy x, y ∈ H lar uchun (Ax, y) = (x, y) tenglik o`rinli bo`lsa, operator A ga qo`shma operator deyiladi.
ta'rif. Agar A = A∗ bo`lsa, A ∈ L(H) o`z-o`ziga qo`shma operator deyiladi.
ta'rif. A : H → H chiziqli operator va ⊂ H qism fazo berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy x ∈ uchun Ax ∈ bo`lsa, u holda qism fazo A operatorga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.
-ta'rif. Agar A ⊂ bo`lib, = H bo`lsa, u holda A : H → H chiziqli operator simmetrik deyiladi. Agar A = bo`lsa, u holda A chiziqli operator o`z-o`ziga qo`shma deyiladi.
ta'rif. O`z-o`ziga qo`shma A operator uchun barcha x ∈ D(A) larda (Ax, x) ≥ 0 bo`lsa, A ga musbat operator deyiladi va bu A ≥ 0 shaklda yoziladi.
O`z-o`ziga qo`shma A va B operatorlar uchun A ≥ B yozuvi A − B ≥ 0 ekanligini anglatadi.
ta'rif. Agar H Hilbert fazosida aniqlangan A operator har qanday kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi.
-teorema. Kompakt operatorga qo`shma operator kompaktdir
-teorema (Hilbert-Shmidt). H Hilbert fazosida kompakt, o`z-o`ziga qo`shma, chiziqli A operator berilgan bo`sin. U holda H fazoda shunday { } to`la ortonormal sistema va { } ∈ R ketma-ketlik mavjudki, A = va lim n→∞ = 0 tengliklar o`rinli.