Funksional chiziqli funksional ta’rifi, asosiy xossalari chiziqli funksional normasi. Xan-Banax teoremasi

1-teorema. chiziqli operator kompaktdir.
Isbot. chegaralangan operator bo‘lgani uchun har qanday chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga o‘tkazadi. Har qanday chegaralangan to‘plam esa chekli o‘lchamli fazoda nisbiy kompaktdir. Demak, chiziqli operator kompaktdir.
2-teorema. bo‘lsin. U holda kompakt operator bo‘ladi.
Isbot. chegaralangan operator bo‘lgani uchun ixtiyoriy chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga akslantiradi. Ma’lumki, va bo‘lgani uchun nisbiy kompaktdir. Demak, kompakt operator.
1-lemma. chiziqli normalangan fazo va lar dagi chiziqli erkli sistema bo‘lsin. bilan elementlarning chiziqli qobig‘idan tashkil topgan qism fazoni belgilaymiz. U holda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi vektorlar mavjud:

natija.Agar cheksiz o‘lchamli Banax fazosi bo‘lsa, u holda operator kompakt emas
3-ta’rif. Bizga Banax fazolari berilgan bo‘lsin. Agar chiziqli operator fazodagi birlik sharni fazodagi nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda kompakt operator deyiladi. 3-ta’rifga teng kuchli bo‘lgan quyidagi ta’rifni keltiramiz.
.4-ta’rif. Bizga ( Banax fazolari) operator va ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Agar ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, u holda ga kompakt operator deyiladi.
-misol. Evklid fazosidagi birlik operatorni kompaktlikka tekshiring.
Yechish..1-teoremaga ko‘ra birlik operator kompakt bo‘ladi.

5.2. Kompakt operatorning xos qiymatlari.
-teorema. A kompakt operatorning spekrtiga qarashli noldan farqli λ soni A uchun chekli karrali xos qiymat bo`ladi
-teorema. Chekli o`lchamli operator kompaktdir.
-teorema. Kompakt operatorga qo`shma operator kompaktdir.
-teorema. Agar {An} kompakt operatorlar ketma-ketligi A operatorga tekis yaqinlashsa, u holda A ham kompakt operator bo`ladi.
teorema (Hilbert-Shmidt). H Hilbert fazosida kompakt, o`z-o`ziga qo`shma, chiziqli A operator berilgan bo`sin. U holda H fazoda shunday {φn} to`la ortonormal sistema va {λn} ∈ R ketma-ketlik mavjudki, Aφn = λnφn va lim n→∞ λn = 0 tengliklar o`rinli.
-teorema. Cheksiz o`lchamli fazodagi A : X → Y kompakt operatorning chegaralangan teskarisi mavjud emas.