Funksional chiziqli funksional ta’rifi, asosiy xossalari chiziqli funksional normasi. Xan-Banax teoremasi

6. Gilbert fazolarida kompakt operatorlar. Gilbert fazolarida o‘z-o‘ziga qo‘shma kompakt operatorlar.

6.1. Gilbert fazolarida kompakt operatorlar.
Evklid fazosini normalangan fazo sifatida qarasak, u to‘la bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Agar E Evklid fazosi to‘la bo‘lmasa, u holda uning to‘ldiruvchisi bo‘lgan Banax fazosini Eˆ bilan belgilaymiz.
1-teorema. Evklid fazosining to‘ldiruvchisi ham Evklid fazosi bo‘ladi.
Ta’rif. Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Gilbert fazosi deyiladi.
2-teorema. Banax fazosi Gilbert fazosi bo‘lishi uchun undagi norma, ixtiyoriy x, y uchun
shartni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
Bizga X− Banax fazosi va M ⊂ X to`plam berilgan bo`lsin. Agar M to`plamdan olingan ixtiyoriy { } ketma-ketlikdan biror ∈ M ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo`lsa, M ga kompakt to`plam deyiladi. Agar N to`plamning yopig`i [N] kompakt to`plam bo`lsa, u holda N nisbiy kompakt to`plam deyiladi. To`plam nisbiy kompakt bo`lishi uchun uning to`la chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli. Chekli o`lchamli fazolarda to`plam kompakt bo`lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo`lishi zarur va yetarlidir. Asosiy funksional fazolardan biri C[a, b] fazodir. Bu fzodagi to`plamning nisbiy kompaktlik kriteriysi Arsela teoremasi yordamida bayon qilingan. Agar A ∈ L(X, Y ) va dim ImA < ∞ bo`lsa, u holda A ga chekli o`lchamli operator deyiladi. Agar dim ImA = n bo`lsa, u holda A ga n o`lchamli operator deyiladi. Agar A operator X dagi har qanday chegaralangan to`plamni Y dagi nisbiy kompakt to`plamga akslantirsa, u holda A kompakt operator yoki to`la uzluksiz operator deyiladi. Bu ta'rifga teng kuchli bo`lgan quyidagi ta'riflarni keltiramiz.
ta'rif. Agar A : X → Y chiziqli operator X fazodagi birlik sharni Y fazodagi nisbiy kompakt to`plamga akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi.
ta'rif. A ∈ L(X, Y ) ( X, Y − Banax fazolari) operator va ixtiyoriy {xn} ⊂ X chegaralangan ketma-ketlik berilgan bo`lsin. Agar {A } ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo`lsa, u holda A ga kompakt operator deyiladi.