Функция тушунчаси

2⁰. Функция лимитиниң бар болыўы. Мейли, функция көпликте берилген болып, болсын . , ноқат көпликтиң лимит ноқатсы болады.
1-теорема. Егер функция көпликте өсиўши болып, ол жоқарыдан шегараланған болса, онда функция ноқатда



лимитке ийе болады.
◄ функция мәнислеринен ибарат болған бул

көпликти қараймыз. Теореманың шәртин бойынша бул көплик жоқарыдан шегараланған болады. Онда көпликтиң анық шегарасының бар болыўы ҳаққындағы теоремаға муўапық көплик анық жоқары шегараға ийе болады. Оны менен белгилеймиз:

.

Енди, болыўын дәлиллеймиз. Анық жоқарғы шегараның анықламасы бойынша:

1) ушын   ;
2) болады.
Егер болса, ондаонда ушын

болып,

теңсизлик орынлансын. Буннан

екенин билдиреди. ►
Айтайық, функция көпликте берилген болып, болсын . Онда , ноқат көпликтиң лимит ноқатсы болады.
2-теорема. Егер функция көпликте кемейиўши болып, ол төменнен шегараланған болса, ондафункция ноқатда



лимитке ийе болады.
Енди функция лимитиниң бар болыўы ҳаққындағы улыўма теореманы келтиремиз.
Мейли функция көпликте берилген болып, ноқат көпликтиң лимит ноқатсы болсын.
1-анықлама. Егер алынғанда ҳәм сондай сан табылғанда,

лер ушын


(1)

теңсизлик орынланса, онда ушын ноқатда Коши шәрти орынланады делинеди.

3-мысал. Бул функция ушын ноқатда Коши шәрти орынланады.
◄Ҳақыйқатында да, санға болса, онда

ушын (яғный ушын)

болады.
3-теорема (Коши). функция ноқатда шекли лимитке ийе болыўы ушын бул функция ноқатда Коши шәртиниң орынланыўы зәрүрли ҳәм жеткиликли.
◄ Зәрүрлиги. функция ноқатда шекли лимитке ийе болсын:


.

Лимит анықламасына тийкарланып:

ушын


(2)

болады. Солай етип, yХ  (U_ (х_о) \ {х_о}) ушын ҳәм

(3)
болады. (2) ҳәм(3) қатнаслардан

болыўы келип шығады.

Жеткиликлиги. Мейли функция ушын (1) шәрт орынлансын. ноқатға умтылыўшы еки

избе-изликлерин аламыз. Бул избе-изликлерден пайдаланып, төмендеги

избе-изликти пайда етемиз. Оны менен белгилеймиз. избе-излик ушын

болады. Теорема шәртине тийкарланып санына карап санын аламыз. Солай етип, де екен, онда лимит анықламасына қарап:

болады. Онда ушын

теңсизлик орынланады. Бyннан избе-изликтиң фyндаментал екенлиги келип шығады. Демек избе-излик жыйнақлы:


да   .
онда
,

болып, фyнкция лимитиниң Гейне анықламасына тийкарланып

.
болады. ►