Фредгольм интеграл тенгламалари

3-мисол. интеграл тенгламани ечамиз.
Ечиш. Интеграл тенгламани

кўринишга келтириб оламиз. Охирги тенгликда

(4.7)

деб белгиласак, у ҳолда

(4.8)

бўлади. (4.8) тенгламани (4.7) тенгликларга қўйсак,

формулани ҳосил қиламиз. Бундан эса,

ёки

(4.9)

келиб чиқади. Бу тенгламалар системасининг асосий детерминанти

бўлади.
1) Агар бўлса, у ҳолда (4.9) чизиқли тенгламалар системаси ягона ечимга эга бўлиб, интеграл тенглама эса, ечимга эга бўлади. Берилган интеграл тенгламага мос бир жинсли

(4.10)

интеграл тенглама фақат ечимга эга бўлади.

2) Агар бўлса, у ҳолда (4.9) чизиқли тенгламалар системаси

шаклида бўлади. Бундан эса, , бунда ихтиёрий ўзгармас эканлиги келиб чиқади. Демак, берилган интеграл тенглама чексиз кўп ечимларга эга бўлиб, бу ечимлар

ёки

формула билан берилган бўлади. Бу интеграл тенгламага мос, (4.10) бир жинсли интеграл тенглама қуйидагича аниқланадиган чексиз кўп ечимларга эга бўлади:

3) Агар бўлса, у ҳолда (4.9) чизиқли тенгламалар системаси

кўринишда бўлиб, тенгламалар системасининг ечимлари бўлади, бунда ихтиёрий ўзгармасдир.

Демак, интеграл тенгламанинг умумий ечими қуйидагича аниқланади:

ёки

.

2. Фредгольмнинг детерминантлар усули. Иккинчи турдаги

(4.11)

Фредгольм интеграл тенгламасининг ечими

(4.12)

формула орқали аниқланади, бунда функция (4.11) Фредгольм интеграл тенгламасининг резольвентаси бўлиб, бўлганда

(4.13)

тенглик билан аниқланади. Бу ерда (4.13) формуладаги ва лар бўйича даражали қаторлар бўлиб,

(4.14)


(4.15)

тенгликлар орқали аниқланади. (4.14) ва (4.15) тенгликлардаги коэффициентлар эса қуйидаги формулалар орқали аниқланади:

, (4.16)


. (4.17)
Бундан ташқари,
Одатда функцияга Фредгольм минори дейилади, га эса, Фредгольм детерминанти дейилади. Агар ядро чегараланган ёки интеграл чекли қийматга эга бўлса, у ҳолда (4.14) ва (4.15) қаторлар нинг барча қийматида яқинлашувчи бўлади. Демак, ва функциялар бўйича бутун аналитик функциялар бўлади. Шунинг учун, функциянинг нолларидан ташқари, барча ларда

резольвента бўйича аналитик функция бўлади.