Фредгольм интеграл тенгламалари

4-Мавзу: ФРЕДГОЛЬМ ИНТЕГРАЛ ТЕНГЛАМАЛАРИ

Бу параграфда узлуксиз ядроли

(4.1)

иккинчи турдаги Фредгольм интеграл тенгламаси ва бу интеграл тенгламага қўшма бўлган

(4.1*)

интеграл тенгламаларининг ечилиш усулларини баён қиламиз.

1. Ўзгарувчилари ажралган ядроли интеграл тенгламаларга доир содда мисоллар.
1-мисол. интеграл тенгламани ечамиз.
Ечиш. Берилган интеграл тенглама учун


(4.2)

деб белгилаcак, у ҳолда

(4.3)

бўлади. (4.3) ифодани (4.2) тенгликка қўяамиз. Шунга кўра,

бўлади. Бундан келиб чиқади. Берилган интеграл тенглама ихтиёрий учун

кўринишдаги ягона ечимга эга бўлади. Шунингдек, мос бир жинсли

(4.4)

интеграл тенглама ягона ечимга эга бўлади.

2-мисол. интеграл тенгламани ечамиз.
Ечиш. Берилган тенгламани


(4.5)

кўринишга келтирамиз ва деб белгилаб,

(4.6)

тенгликни ҳосил қиламиз. тенгликда функциянинг ўрнига унинг (4.6) ифодасини қўямиз. Шунга кўра,

бўлади. Бундан бўлишини топамиз.

Агар бўлса, у ҳолда интеграл тенглама ягона ечимга эга бўлади ва бу ечим

шаклида бўлади. Берилган интеграл тенгламага мос бир жинсли

интеграл тенглама фақат ечимга эга бўлади.

Агар бўлса, у ҳолда берилган интеграл тенглама ечимга эга бўлмайди. Чунки функция функцияга ортогонал эмас. Берилган интеграл тенгламага мос бир жинсли интеграл тенглама чексиз кўп ечимга эга. Бу барча ечимлар

формула орқали берилади.