Фредгольм интеграл тенгламалари

4-мисол. Фредгольм детерминантлари ёрдамида учун ядронинг резольвентасини топамиз.
Ечиш. Берилишига кўра, Шунга кўра,

бўлади, чунки интеграл остидаги детерминант нолга тенг. Бевосита текшириб кўриш мумкинки, кейинги барча бўлади. Энди коэффициентларни топамиз:

Бевосита текшириб кўриш мумкинки, кейинги барча коэффициентлар учун бўлади.

(4.14) ва (4.15) формулаларга кўра,

тенгликларга эга бўламиз. Шундай қилиб,

Топилган натижаларни

интеграл тенгламани ечишга қўллаймиз. (4.12) формулага кўра,

бўлади. Хусусан, функция учун

ечим ҳосил бўлади.

Шуни таъкидлаб ўтиш керакки, (4.14) ва (4.15) қаторлардаги ва коэффициентларни (4.16) ва (4.17) формулалар бўйича ҳисоблаш жуда камчилик ҳолларда амалий ҳисоблаш мумкин бўлади, лекин бу формулалардан ушбу коэффициентлар учун қуйидаги реккурент муносабатлар ҳосил қилинади:


(4.18)


(4.19)

Бу ерда ва коэффициентларни билган ҳолда, (4.19) ва (4.18) формулалар бўйича ва ҳоказо коэффициентларни кетма-кет топамиз.

5-мисол. (4.18) ва (4.19) формулалардан фойдаланиб, учун, ядронинг резольветасини топамиз.
Ечиш. эканлигини биламиз. (4.19) формуладан фойдаланиб,

бўлишини топамиз. (4.18) формулага кўра,

бўлади. Бундан эса,

,

формулани ҳосил қиламиз. Шунга кўра,

бўлади. Берилган ядронинг резольвентаси эса,

(4.20)

кўринишида бўлади.

3. Такрорий ядролар. Такрорий ядролар ёрдамида резольвентани қуриш.
(4.21)

кўринишдаги Фредгольм интеграл тенгламаси берилган бўлсин. Вольтер интеграл тенгламаси сингари, (4.21) Фредгольм интеграл тенгламасини ҳам кетма-кет яқинлашиш усули билан ечиш мумкин. Бунинг учун

(4.22)

бўлсин деб оламиз, бунда қуйидаги формула орқали аниқланади:

Бу ерда

ва умуман

(4.23)

тенгликлар орқали аниқланади, бундан ташқари, бўлади. Одатда (4.23) формула орқали аниқланадиган функцияларга ядронинг итерацияси ёки такрорий ядролари дейилади. Ихтиёрий натурал сонлар учун бу такрорий ядролар

(4.24)

муносабатларни қаноатлантиради.

(4.21) интеграл тенгламанинг резольвентасини ядронинг такрорий ядролари орқали
(4.25)

формула билан аниқланади, бунда (4.25) формуланинг ўнг томонидаги қатор ядронинг Нейман қатори дейилади. Агар

, бунда (4.26)

бўлса, у ҳолда бу қатор яқинлашувчи бўлади.

(4.21) иккинчи турдаги Фредгольм интеграл тенгламасининг умумий ечими резольвента ёрдамида


(4.27)

формула орқали аниқланади.

(4.26) даги га қуйилган шарт (4.25) қаторнинг яқинлашиши учун жуда муҳимдир. Айрим ҳолларда, бўлганда ҳам (4.21) интеграл тенгламанинг ечими мавжуд бўлиши мумкин.
6-мисол.
(4.28)
интеграл тенгламани ечамиз.
Ечиш. Берилган интеграл тенглама учун га тенг. Шунга кўра,

Демак, (4.26) шартга кўра, (4.25) қатор учун яқинлашувчи бўлади.

Берилган (4.28) интеграл тенгламани ўзгарувчилари ажралган ядроли интеграл тенглама сифатида қарасак,


, бунда
бўлиб, ёки . Шунга кўра, берилган интеграл тенгламанинг ечимини ҳосил қиламиз. Агар бўлса, у ҳолда интеграл тенглама ечимга эга эмас. Бундан эса, радиуси бирдан катта бўлган доирада (4.28) интеграл тенглама учун кетма-кет яқинлашишлар яқинлашувчи бўлмайди. Лекин учун (4.28) интеграл тенглама ечилади. Ҳақиқатдан ҳам, агар бўлса, у ҳолда функция берилган интеграл тенгламанинг ечими бўлади.
Шуни таъкидлаш керакки, айрим Фредгольм интеграл тенгламаси учун нинг исталган қийматларида (4.25) Нейман қатори яқинлашувчи бўлади.