Фредгольм интеграл тенгламалари

Таъриф. Берилган ва ядролар учун ихтиёрий ларда


(4.29)

тенгликлар бажарилса, у ҳолда бу ва ядролар ортогонал ядролар дейилади.

7-мисол. оралиқда ва ядролар ортогоналдир. Ҳақиқатдан ҳам,

бўлади.
Ўз-ўзига ортогонал бўлган ядролар ҳам мавжуддир. Бундай ядролар учун бу ерда иккинчи такрорий ядродир. Бу ҳолда барча кейинги такрорий ядролар нолга тенг ва резольвента ядро билан устма-уст тушади.

8-мисол. ядроли интеграл тенгламага мос Нейман қаторини яқинлашишга текширамиз.
Ечиш.

бўлади. Шундай қилиб, бу ҳолда ядронинг резольвентаси ядронинг ўзига тенгдир:

.

Шунга кўра, (4.25) Нейман қатори фақат битта ҳаддан иборат ва нинг исталган қийматларида яқинлашувчи бўлади.

такрорий ядро бевосита берилган ядро орқали


(4.30)

формула бўйича ифодаланади.

Агар бошланғич ядро квадратда квадратик жамланувчи ядро бўлса, у ҳолда ядродан бошлаб, барча такрорий ядролар шу квадратда узлуксиз бўлади.
Агар берилган ядро симметрик бўлса, у ҳолда барча такрорий ядролар ҳам симметрик бўлади.
Энди такрорий ядроларни топишга доир мисол келтирамиз.
9-мисол. Агар бўлса, у ҳолда ядро учун такрорий ядроларни топамиз.
Ечиш. (4.22) формуладан фойдаланиб, кетма-кет

такрорий ядроларни ҳосил қиламиз.

Бундан эса, такрорий ядроларнинг қуйидаги шаклини ҳосил қиламиз:

1. 
   агар бўлса, у ҳолда
   
2. 
   агар бўлса, у ҳолда
   

бўлади.