Fotoenergetikada nanostrukturali yarimo‘tkazgich materiallar II xalqaro ilmiy anjumani

Fotoenergetikada nanostrukturali yarimo‘tkazgich materiallar

II xalqaro ilmiy anjumani 
 
19-20 noyabr 2021 yil 
333 
фильтрации для оценки и коррекции погрешности измерительных систем 
зондовых полупроводниковых преобразователей. 
Для уяснения методики решения задачи рассмотрим сначала частный 
случай линейной фильтрации в дискретном времени, когда уравнения, 
описывающие входные и выходные сигналы кремниевых преобразователей 
температуры, являются линейными и заданы в виде скалярных разностных 
уравнений [1]:
,
1
1







n




 
,
0
0



(1) 
,
0
0






n
u
H



(2) 
где 
 
,


t
H
H

 
,


t
u
u

 




t

- заданные функции времени; 

0
n
и

n
- дискретные гауссовские шумы с нулевыми 
математическими ожи- даниями и дисперсиями


2
/
0
0
N
D

и

D
соответственно. 
Начальное значение 
0

- нормально распределенной случайной 
величины с известной априорной плотностью вероятности 
 
0

pr
p
является 
детерминированным. Все значения входной величины 


получаются в 
результате линейного преобразования последовательности независимых 
нормально распределенных случайных входных величин 

n
, 
,
1


,
2
,.....
3
. 
Поэтому при нормальном распределении начального значения 
0

сама 
последовательность 


будет также нормально распределенной. Случайная 
выходная величина


, есть сумма двух взаимно независимых нормально 
распределенных случайных величин 


0
H
и 

0
n
. Поэтому совокупности 
случайных величин


1
0




1
1
0
.........
,





и 


1
0
1
,






являются совместно 
нормальными. По праву умножения вероятностей имеем [2, 3]


 


1
0
1
0
1
1
0
1
/
,
/
















p
p
p
.
(3)
Известно, что условные плотности вероятностей совместно с 
гауссовскими случайными величинами являются нормальными, вследствие 
чего плотность вероятности


1
0
1
/






p
будет нормальной. Следовательно, 
апостериорная плотность вероятности в 




1

H
м шаге является 
нормальной, т.е. имеет вид 






1
2
1
1
1
1
0
1
2
/
exp
/
















R
m
С
p
, (4) 
где

1
C
нормировочная постоянная; 


1

m
условное математическое ожидание, являющееся оптимальной 
оцен- кой
1



;


1

R
апостериорная дисперсия.
Условную плотность вероятности 


1
0
/




p
находим из уравнения (4), 
согласно которому 


при фиксированном значении 
1



представляет собой 

---

Fotoenergetikada nanostrukturali yarimo‘tkazgich materiallar

II xalqaro ilmiy anjumani 
 
19-20 noyabr 2021 yil 
334 
сумму неслучайного слагаемого 
1
1






и гауссовского шума

n
с нулевым 
математическим ожиданием 

D
. Поэтому






,
2
/
exp
/
2
1
1
2
1











D
С
p






. (5) 
Подставив плотности вероятности (4) и (5) в уравнение






1
1
0
1
0
1
1
0
/
/
/























d
p
p
p
и, выполнив интегрирование, получим 





















D
R
m
С
p









1
2
1
2
1
1
3
1
0
2
/
exp
/
. (6) 
На основании указанных выше пояснений записываем выражение 
услов- 
ной плотности вероятности

















0
2
4
2
/
exp
/
D
H
u
С
p




. (7) 
С учетом, что



















/
/
/
1
0
p
Сp
p


и после подстановки в неё выражений (6) и (7) получим



 
















































0
2
1
2
1
2
1
1
0
2
2
exp
/
D
H
u
D
R
m
С
p
. (8) 
Поскольку показатель экспоненциальной функции есть полином 
второй степени относительно 
0

, то условная плотность вероятности 







/
p
является нормальной. Параметры нормального закона-математическое 
ожидание 

m
и дисперсию 
0
R
- проще всего найти, если стандартное 
выражение нормальной плотности вероятности записать в виде [3, 4]





















R
R
m
C
R
m
R
2
exp
2
exp
2
2
2
2
/
1




. (9) 
Отсюда видно, что математическое ожидание
m
есть коэффициент при 
R
/

, а 
R
/
1
- коэффициент при -
2
/
2

. C учетом этих замечаний получаем 


1
1
0
1
1



















m
H
u
k
m
m
,






0
/
D
R
H
k

, (10) 







0
2
1
2
1
1
1
D
H
D
R
R





. (11) 
Уравнение (10) определяет алгоритм формирования оптимальной 
оценки, а уравнение (11)-эволюцию апостериорной дисперсии. Они являются 
уравнениями фильтра оценивания, схема которого представлена на рис.1. 
При 
 
0


t
H
апостериорная плотность вероятности совпадает с априорной и 
из (7) имеем [1]
1
1







m
m
. (12) 
Это и есть уравнение экстраполированной оценки на один шаг, 
т.е. прогноза


и 

h
.

---

Fotoenergetikada nanostrukturali yarimo‘tkazgich materiallar

II xalqaro ilmiy anjumani 
 
19-20 noyabr 2021 yil 
335 
В данном случае фильтр оценивания вырождается фильтр, 
показанный на рис.1 штриховой линией. Основные элементы фильтра: 1- 
преобразователь сигнала; 2-операционный усилитель; 3-аналого-цифровой 
преобразователь; 4-синхронный дискриминатор; 5-шаговый дискриминатор; 
6-стабилизатор дискриминатора; 7-амплитудный селектор; 8-операционный 
усилитель порогового значения; 9-амплитудный усилитель.
Это 
формирующий 
фильтр 
для 
входной 
величины, 
следовательно, априорные сведения о входной величине «заложены в 
конструкцию» оптимального фильтра, что имеет общий характер. 
На выходе фильтра оценивания и входной величины вычитается 
его предсказуемая часть
1
1








m
H
u
.
Таким образом, изучены точностные характеристики кремниевых
преобразователей температуры и разработан алгоритмический фильтр 
оценивания выходных сигналов с учетом априорной и апостериорной 
дисперсии. Установлено, что уравнение (10) определяет алгоритм 
формирования 
оптимальной 
оценки, 
а 
уравнение 
(11)-эволюцию 
апостериорной дисперсии и являются уравнениями фильтра оценивания 
кремниевых преобразователей температуры.
 
Литература 
1.
 
Рахманов 
А.Т. 
Анализ 
характеристик 
оптимального 
и 
квазиоптимального 
фильтров 
измерительных 
систем 
зондовых 
параметрических преобразователей//Вестник ТУИТ.-2011.-№ 1-2.-С.32. 
2. Булкин П.С., Васильева О.Н., Киров С.А., Малова Т.И./Измерение 
температуры полупроводниковыми термометрами. – М.: ООП, МГУ, 2012.-
С.13-15. 
3. Рахманов А.Т.
 
Зондовые параметрические преобразователи 
информации: Монография. -Ташкент: Изд. «Узбекистан», 2010.-160 с. 
4. Белевцев А. Термоэлектрические преобразователи температуры. 
Теория, практика, развитие//Современные технологии автоматизации. 2004.-
№2.-С.10-15.
Рис.1. Структурная схема фильтра оценивания выходных 
сигналов кремниевых преобразователей температуры

---

Fotoenergetikada nanostrukturali yarimo‘tkazgich materiallar

II xalqaro ilmiy anjumani 
 
19-20 noyabr 2021 yil 
336 
5. Rakhmanov A.T., Kuznetsov S.F., Khamrayev. Error of static 
characteristics of disperse media moisture when modelling the exponential process. 
Science and world. International scientific journal, №4 (68), 2019, Vol.1, PP.67-
71.