Fizika-matematika fakulteti analitik geometriya fannidan

k	oldidagi koeffisientini dk
orqali belgilab uni
quyidagicha yozamiz:

det( A I )

n




d_k ^k .

11. 
    0
    

Shunday qilib, det( A I ) determinant qiymati bazisni tanlab olishga bog`liq emas, u holda xarakteristik ko`phadning d_k koeffisientlari bazisni tanlab olishga bog`liq emas, ular invariantlar bo`ladi, ya`ni ular bazisni tanlab olishga bog`liq bo`lmagan miqtorlar.

Xususan,	d	n 1	a^1	a^2	... a^n invariant bo`ladi. Bu invariant A operatorning
			1	2	n
izi deyiladi va trA orqali belgilanadi:
					trA	a^1	a^2	... a^n .
						1	2	n
det( A	I )		0 tenglama A operatorning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
	Chiziqli operatorlarning xos qiymatlari va xos vektorlari.
V1 n o`lchovli				V	chiziqli	fazoning		qism fazosi va A	L(V ,V ) dagi
chiziqli operator bo`lsin.
2-ta`rif. V1	A operatorning invariant qism fazosi deyiladi, agarda V1								tegishli barcha

10. 
    elementlar uchun Ax element ham V₁ da yotsa.
    

A operatorning invariant qism fazolariga ker A va imA qism fazolar misol bo`la oladi.

3-ta`rif. son A operatorning xos qiymati deyiladi, agarda shunday noldan farqli

Axx

(1)

27

tenglikni qanoatlantiruvchi x element mavjud bo`lsa. Bu x element A
operatorning xos vektori deyiladi.

1-teorema. son A operatorning xos qiymati bo`lishi uchun uning

det( A I ) 0

xarakteristik tenglamasini ildizi bo`lishi zarur va etarli.
Isboti. А operatorning xos qiymati va x bu songa mos (x 0) xos vector bo`lsin. (1) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz:

			( AI )x		0.
Shunday qilib, x noldan farqli			element va		oxirgi	tenglikdan		ker( A	I )	0
kelib chiqadi, ya`ni
dim(ker( A		I ))	1.							(2)
Ma`lumki,
dim(im( A		I )) dim(ker( A			I ))	n,
bu tenglikdan va (2) tengsizlikdan
dim(im( AI ))			n	1						(3)
kelib chiqadi.
Ta`rifdan dim(im( A	I ))	A	I	operator rangiga			teng.	Shu sababli		(3)
tengsizlikdan
	rang( A	I )	n							(4)
kelib chiqadi.
Shunday qilib, agar	xos qiymat bo`lsa, u holda					A	I operatorning		A	I
matritsaning rangi n dan kichik, ya`ni det( A					I )	0 va demak,		xarakteristik
tenglamani ildizi.

Endi (1) xarakteristik tenglamaning ildizi bo`lsin. U holda (3) tengsizlik

o`rinli va demak (2) tengsizlik o`rinli. Bundan esa son uchun noldan farqli shunday x element mavjudki,

( A I )x 0.

Bu oxirgi tenglik (1) ga ekvivalent, shu sababli xos qiymat.

Teorema isbotlandi.

28

Natija. Har qanday chiziqli operator xos qiymatga ega.
Haqiqatan ham, kompleks sonlar nazariyasining asosiy teoremasiga ko`ra
xarakteristik tenglama har doim ildizga ega.
2-teorema. Berilgan {e<sub>k</sub> } bazisda A operatorning A matritsasi dioganal
ko`rinishda bo`lishi uchun, e<sub>k</sub> bazis vektorlari bu operatorning xos vektorlari
bo`lishi zarur va etarli.
Isboti. e_k bazis vektorlar А operatorning xos vektorlari bo`lsin. U holda



Ae_{k k} e_k , (1)
shu sababli A operatorning A matritsasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

	1	0 ...		0
A	0	2	...	0
				... ^,	(2)
	...	... ...
	0	0 ...		n
ya`ni diagonal ko`rinishda bo`ladi.
A matritsa	А operatorning {ek } bazisdagi diagonal ko`rinishda bo`lsin, ya`ni (2)

ko`rinishda bo`lsin. U holda (1) o`rinli, demak e_k bazis vektorlari bu operatorning xos vektorlari.Teorema isbotlandi.

3-teorema. А operatorning ₁ , ₂ ,..., _p lar xos qiymatlari bo`lsin. U holda

ularga mos e₁ ,e₂ ,..., e_p xos vertorlari o`zaro chiziqli erkli bo`ladi.

Isboti. Induksiya usulidan foydalanamiz. p 1 da teorema o`rinli. Bu holda e₁ -

noldan farqli vector, chunki noldan farqli bitta vector chiziqli erkli. Faraz qilaylik, teorema m ta e₁ ,e₂ ,...,e_m vektorlar uchun o`rinli bo`lsin. Bu vektorlarga e_{m 1} vektorni qo`shaylik, u holda

13. 
    1
    

k ^ek^o

(3)

11. 
    1
    

bo`lsin.U holda operatorni chiziqli ekanligidan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

13. 
    1
    

k Aek 0.

(4)

11. 
    1
    

Shunday qilib, e_k xos vektorlar, u holda

29

Ae_{k k} e_k
Shu sababli (4) quyidagicha yozish mumkin:

13. 
    1