Fizika-matemati fakulteti

{ω, v} = {v, ωi} = ω(v) ∈ R, ω ∈ V∗, v ∈ V

V n-o'lchovli vektor fazo bo'lsin va bo'lsin (v1, . . . , vn) uning asosi bo'lsin.

Keyingi kurinish [ω1, . . . , ωn], bilan

ω^j (vi) = δ^ j

v asosini tashkil qiladi. Xususan, lim V*=limV .

V bo'yicha k-covariant tensor bir k-chiziqli xarita bo'ladi,

V ^k → R, V ^k =( V × · _{k ta}· · × V)

<sub>V bo'yicha l-kontravariant tenzor l-chiziqli xarita bo’ladi.

V</sub>^l _{→ R, V}^l =(V*…_{l ta}....*V)

Bir k-covariant, l-contravariant V kuni tensor (yoki bir (k, l)-tensor) a (k + l) bo'ladi,-chiziqli xaritasi.

V^k ×V^l→R

T^k(v)= V bo'yicha barcha k-kovariant tenzorlar fazosi ,

T_l(V )= v bo'yicha barcha l-kontravariant tenzorlar makoni,

T_l^k(V ) = V bo'yicha k-covariant, l-contravariant barcha tensors oraliq (ya'ni (k, l)-tensors).

Xulosa

T ^k (V ), T^l(V ), va T_l^k(V ) vektor fazolar tabiiy yo'l bilan bo'ladi.

0-kovariant va 0-kontravariant tenzorlar ham haqiqiy sonlar ekanligi haqida Konvensiya tuzamiz, T ⁰ (V ) = T₀(V ) = R

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Milollar

1 Har qanday chiziqli xarita ω: V → R 1-kovariant tenzor. Shunday Qilib

T¹(V ) =V* Xuddi Shunday, T¹(V ) = V**= V

2. 
   Agar V ichki mahsulot maydoni bo'lsa, u holda V bo'yicha har qanday ichki mahsulot 2 kovariant tenzor (bilinear haqiqiy qimmatbaho xaritalash, ya'ni bilinear shakl).
   
3. 
   Asosiy determinant: Rⁿ×××× Rⁿ→ R n-covariant bir kuni tensor bo'ladi.
   

Agar (V_{1…………………}V_n) v ning asosi va (W¹…………Wⁿ) v tegishli dual asosi