Fizika-matemati fakulteti

T ⁰M = T₀M = M × R,

T ¹M = TM* ,

T¹ M = TM,

T^k₀ M = T ^kM,

T ⁰_lM = T _l M.

Barcha tensor to'plamlar silliq manifolds ekan, biz ularning silliq bo'limlari ko'rib mumkin. Shuni aytamiz

bir qism s: M → T^k_l M bu (k, l)-tensor (bu π = ◦s id_M eslash , va (p)s∈T^k_l(T_p M), shuning uchun maydon T^k_l (T_p M) buladi . A(k, l)-tensor sohasida, silliq, bir qism hisoblanadi silliq: M → T^k_l M . Xuddi shunday, biz aniqlagan (silliq) k-kovariant tensor soha va l-contravariant tensor konlari hisoblanadi . 0-covariant beri va 0-contravariant tensors haqiqiy sonlar bo'lib, (silliq) 0-kovariant tenzor maydonlar va (silliq) 0-kontravariant tenzor maydonlar hisoblanadi (silliq) real-qimmatbaho vazifalari bo’ladi.

→ T^k (M)= {bo'yicha silliq bo'limlar T^k M

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

}

={k-covariant tensor silliq maydoni}

→ T_l (M)= {bo'yicha silliq bo'limlar T_l M }

={l-covariant tensor silliq maydoni}

→ T^k_l (M )= {bo'yicha silliq bo'limlar T^k_l M

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

}

={(l, k) - covariant tensor silliq maydoni}

Agar (U, x), x = (x ¹ , . . . , xⁿ ) bo’lsa grafikni va σ u dagi tenzor maydoni , yozishimiz mumkin

σ = σ _i1…..ik dxⁱ¹ ⊗ · · · ⊗ dx^ik , agar σ k-covariant tensor maydon bo'lsa ,

σ = σ _j1···jl∂_j1 ⊗ · · · ⊗ ∂_jl , agar σ l-kontravariant tenzor maydon bo'lsa,

yoki

σ = σ ^j1···jl _i1···ik dxⁱ¹ ⊗ · · · ⊗ dx^ik ⊗ ∂_j1 ⊗ · · · ⊗ ∂_jl , a (k, l)-tensor sohasida σ bo'lsa.


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Vazifalari

σ _i1…..ik dxⁱ¹ va σ ^j1···jl σ ^j1···jl _i1···ik nisbatan σ ning tarkibiy funksiyalari deyiladi grafik (U, x).

Yana bizda: M Σ a (k, l) bo'lsin-tensor maydonga kirsa U holda quyidagiga teng:

1. 
   σ ∈→ T^k_l (M )
   
2. 
   σ ning tarkibiy funksiyalari (har qanday grafikka nisbatan) silliq;
   
3. 
   agar U ⊂ M, ochiq va X1,. . . , Xk ∈ T (u) bo'lsa u va ω dagi silliq vektor maydonlardir w¹, . . . , w^l ∈T¹(M) u da silliq kovektor maydonlar bo'lib, u holda funksiya
   

p → σ ( X¹, . . . , X^k, ω¹ , . . . , ω^l )p ∈ R

bo’ladi.

2.3 Ulanish Affine ulanishlar

Birinchi umumiy ta'rif: (E, π) M dan ortiq C∞ vektor to'plam bo'lsin,

a C∞men-bo'limlar ε(M) fazoni bildirsin

∇ : T (M) × ε(M) −→ ε (M),

qoniqarli (X, Y ) → ∇_XY , bilan belgilanadi .

(C1) ∇XY X ustida chiziqli bo'ladi C∞(M) in X:

∇_fX1+gX2Y = f∇_X1Y + g∇_X2 Y, f, g ∈ C ∞(M);

(C2) ∇XY R Y ustida chiziqli bo'ladi :

∇_X(aY1 + bY2) = a∇_XY1 + b∇_XY₂, a, b ∈ R;

(C3) ∇ quyidagi mahsulot qoidani qanoatlantiradi.

∇_X(f Y ) = f∇_XY + (Xf)Y, f ∈ C ∞(M).


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

∇_XY Y ning x yo'nalishidagi kovariant hosilasi deb aytamiz, U holda E=TM bog'lanishga ∇ affin bog'lanish deyiladi. Shunday qilib

∇ : T (M) × T (M) −→ T (M) bo’ladi . Bundan buyon ∇ M-da afin aloqa bo'ladi. Y=I→M C∞ bo’lsin unda C∞ -X maydon deb aytamiz: i → TM γ agar C∞ - vektor maydon bo'ylab Har bir t uchun (t)Xt = Xy ∈ Ty M ∈ I bulsa,

kurinshga ega buladi

Barcha C∞-vektor maydonlarning γ bo'ylab fazosini t (γ) bilan ifodalanadi. X ∈ T (γ) mumkin emas, deb olish shart Xe ∈ t uzaytirilishi (U), qayerda u ochiq majmui bulsa bunday γ: i → U olinadi. misol uchun,: γ chiziqni qaraylik

(∇_XY )p faqat X_P va _a C∞-yo'l γ bo'ylab y ning qiymatlari bog'liq, γ₀ = X_p bilan (va albatta ∇) olinadi.

Bu shubhasiz qarab natija beradi, chunki tekis yo'lda vektor maydonning kovariant hosilasi tushunchasini aniqlang juda muhim bo'ladi va shuning uchun a bir tekis yo'lda parallel transport harakatini kuzating ;


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Isboti: (U, x) p da grafik bo'lsin va ∂_i = ∂/ ∂xⁱ , i = 1, 2, . . . , n mos koordinata bo'lishi bo'lsin .