Fizika-matemati fakulteti

X = a ⁱ ∂_i , Y = b ^j ∂_j

Bog'lanish aksiomalaridan foydalanib, quyidagiga ega bo'lamiz

(∇_X Y )_p = (∇_Xb ^j ∂_j )_p = b ^j (p)(∇_X ∂_j )_p + (X_pb ^j )(∂_j )_p = b ^j (p)(∇_{a i∂i} ∂_j )_p +

+ (X_pb ^j )(∂_j )_p = b ^j (p)a ⁱ(p)(∇_∂i ∂_j )_p + (X_pb ^j )(∂_j )_p

qayerda shartlari b^j(p) aⁱ(p) faqat Y_p va X_p va X_pb^j shartlariga bog'liq j faqat Y ning qiymatlariga bog'liq γ₀ = X_p bilan birga γ ham.

{Ei} ochiq to'plamda local maydon bo'lsin U ⊂ M. Quyidagi

∇E_i = Γ^k _ijE_k

vazifalari olish Γ_ij^k ∈ C∞(U) {Ei} nisbatan Christ ning Christoffel ramzlari chadi. Biz olamiz

∇_XY = a ⁱ b ^jΓ ^k _ijE^k + Xb^jE_j = (a ⁱ b ^jΓ ^k _ij + Xb^k )E^k

Teorema:

∇ M bo'yicha afinali bog'lanish bo'lsin va γ : i → M C∞ yo'l bo'lsin. Keyin u erda Dt :T (γ) → T (γ) qoniqarli maydon mavjud bo’ladi.

1. 
   linearity over R:
   

D_t(aV + bW) = aD_tV + bD_tW, a, b ∈ R;

2. 
   product rule:
   

D_t(fV ) = ˙fV + fD_tV, f ∈ C ∞(I);


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

(c ) bo'lsa, V, Y ∈ T (M) tomonidan ogohlantirgandan bo'lsa (V"") extendible, ya'ni Vt = Yy(t bo'ladi ), keyin D_tV = ∇_γ˙ Y bo’ladi.

DtV vektor maydon γ bo'ylab v ning kovariant hosilasi deyiladi. Biz odatda, bir sxema amal isbot: avval yagonaligini isbotlaymiz va ob'ektni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani olamiz

Yagonalik Faraz qilaylik, D_t (a), (b) va (c) xossalari bilan mavjud bo'lsin. Avval D_t ekanligini isbotlaymiz quyidagi ma'noda local .

Deylik, bu V, W ∈ T (γ) Og'irlik Vt = bunday deb vektor maydonlar boruchunbarcha t ∈]t0 − δ, t0 + δ [ba'zi δ ⊂ I > 0 uchun V, W ∈ T (γ) Vt bunday deb vektor maydonlar bor, deb faraz qilaylik V_t = V_k uchun barcha t ∈]t0−, t0 + δ δ[⊂ men 0 > δ ba'zi uchun. Bu quyidagi shart-sharoitlar (a) va (b). Haqiqatan, f : r = r plaj=-funksiya shunday bo'lsin, f(t) = 1 barcha t uchun, bilan| − t0| ≥ δ t va f(t) = 0, barcha t |t bilan − t0| < /2 δ. − W = f(V − W)V, uchun keyin va shuning uchun

D_tV − D_tW = D_t(V − W) = D_t f(V − W) = ˙f(V − W) + fD_t(V − W)

1. 
   va (b) tomonidan. Xususan, t0 da bizda
   

(D_tV )_t0 − (D_tW)_t0 = ˙f_t0 (V − W)_t0 + f(t₀) D_t(V − W) _t0 = 0 buladi.

f_t0 = 0 = f(_t0), chunki. Keyin V∈ T (γ), t0 ∈ I, V va x = (x1, . . . , xn) qilaylik da bir grafik p = γ(t0) da quyidagicha bo'lishi kelib chiqadi.

γ_˙t = (x ⁱ ◦ γ) ′ (t)(∂_i)_γ(t) = ˙γ ⁱ (t)(∂_i)_γ(t) va

V_t = v ^j (t)(∂_j )_γ(t) ,

Qayerda γ ⁱ = (x ⁱ ◦ γ) ′ va v ^j ∈ C∞(t₀ − ε, t₀ + ε).

( A) va (b) lardan foydalanib, bizda D_tV = D_t(v ^j ∂_j ) = ˙v ^j ∂^j + v ^jD_t∂_j . chunki Dt∂j (c) = ∇γ˙ ∂_j = ∇_{γ˙ i∂i} ∂_j (C1) = ˙γ ⁱ∇_∂i ∂_j = ˙γ ⁱΓ ^k _ij∂_k buladi

agar D_t

: T (γ) → T (γ) mavjud va qanoatlantiradi (a), (b) va (c), keyin u yagona bulsa.


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Mavjudlik Agar γ(i) bitta grafikda mavjud bo'lsa, Dt ni yuqorida qoida bilan belgilashimiz mumkin. Umumiy holatda, γ(i) ni grafiklar bo'yicha qoplash va DtV ni yuqoridagi qoida bilan aniqlash. Yagonalik ta'riflarning kelishilganligini bildiradi .

Rⁿ dagi Evklid aloqasi quyidagicha belgilanadi

X, V ∈ T (R ⁿ ), V = (v ¹ , . . . , vⁿ ) = v ⁱ∂_I qayerda v ⁱ ∈ c∞ (R ⁿ) va

∂¹, . . . , ∂ⁿ Rⁿ baziz asosidi Keyin aniqlaymiz. Misol uchun quyidagi kurinishlarni kuraylik .

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

2.4Egrilik nima riman egrilik tenzori

I -yo'lni a C∞ γ : R²→ V ko'rib chiqaylik biron kurinish va Y’=1 deb farz qilaylik . Rasmiy ravishda egrilikningγ κ(t) = |y_t| bilan belgilanadi γ tezlanish vektorining normasi . Geometrik, egrilik bor bir tafsir: Berilgan a nuqta p = γ (t), uchun tangens bo'lgan σ aylanalar ko'p p begin=, ya'ni σ(t) = p va γ σ˙t = ˙γt lekin aynan shunday bir ¨σt = ¨γt bor . Bu osculating doira qo'ng'iroq

Agar ¨γt = 0, σ to'g'ri chiziq tangensi bo'lishi uchun Y_t ⊥ y_t ekanligini unutmang |y_t| ≡ 1 γ |beri (γ da akseleratsiya yo'q o'z yo'nalishi bn olingan )

Keyin κ(t) = 1/R, R osculating doira radiusi hisoblanadi (R = ∞ men va k(t) = 0 y_t agar = 0) ning biror nuqtasida birlik normal vektorni tanlang va n ga mos (uzluksiz) birlik maydon bo'lsin γ birga normal vektor bo'lsin. Keyin olingan egrilik k_N bo'ladi.

Faraz qilaylik R³ (2 o'lchamli) silliq sirt. P ∈ s da s ning egriligi quyidagicha asosiy curvatures deb nomlangan ikki raqamlar bilan tasvirlangan:

1 N o'z ichiga olgan p ∈ s orqali bir kurinish p tanlang, p da S bir birlik normal vektor; p s ∩ P yaqin silliq tekislik egri chizig'i γ (⊂ P) p dan o'tadimi.

2Tanlab olingan birlik normal n ga nisbatan γ va p ning k_N ni hisoblash

3 Barcha bunday tekisliklar Paralleligi uchun bu holni takrorlaydi.

Asosiy curvatures, κ1 va κ2, p da S minimal va maksimal cur tabiatli

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

olingan 3 da . Asosiy egriliklar izometrik invariant emas; S. xususiyatlari ular ichki emas. Misol uchun S₁ = {(x, y) ∈ R ² : x ∈ R, 0 < y < π} va yarim silindrli S₂ = {(x, y, z) ∈ R ³ : x ∈ R, y2 + z 2 = 1, z > 0} izometrik maydon buyicha (x, y) → (x, cos y,sin y)), lekin S1 asosi ajralgan S2 asosiy ajralgan κ1 = 0 bo'ladi, holbuki κ1 = κ2 = 0 bo'ladi va κ2 = 1.

Gauss teoremasi ajoyib unga kura K= Κ₁κ₂ u mahsulot ichki, ya'ni s metrik jihatidan ifodalanishi mumkin bu holat Gauss ajralishi deyiladi.

Model yuzalar.

1

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

R² maydonda , K=0

2 S²={x∈R³:[ x ]=1} induksiyalangan metric maydon K=1

3 Giperbolik tekislik H² K=-1

Yuqori yarim maydon modeli H² = {(x, y) ∈ R ² : y > 0} bu Riemannian metrik bilan g_H = y ⁻² gE, gE =Evklid metrikasi.

Poincare-disk model: H² = {x ∈ R ² : |x| < 1} bu Riemannian metrik bilan quyidagicha kurinishga ega buladi .


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Har bir ulangan 2-manifold bir quotient uchun diffeomorfik bo'ladi yo kosmik R ² , S ² , yoki H² izometriyalarning diskret guruhi tomonidan to'g'ri qo'zg'almas nuqtalarsiz to'xtatiladi. Shuning uchun, har bir ulangan 2-manifold to'liq Riemannian metrikasiga ega doimiy Gauss egriligi bilan buladi.

Gauss Betnot teoremasi : Agar s kompakt yo'naltirilgan bo'lsa 2-manfaloid bir Riemannian bilan metric, keyin

∫_sk =2∏X(S)

χ (S) da S Eulerning xarakteristikasi. Eyler xarakteristikasida S Topological invariant bo'ladi S sifatida belgilangan χ(S) = # S har qanday triangulation ichida yuzlari vertices - # edges + #

2 S = sohasida,

X(s)={ 0 S = torus,

2-2g S= jismning yo'naltirilgan yuzasi g

Yuqori o'lchamlarda egrilik.

P ∈ M da "ba'zi curvatures" hisoblash uchun retsept:

1. 
   2 o'lchovli P ⊂ TpM subspace olish ;
   

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

2. 
   to'plamini B (0, r) ⊂ TpM deb olish bir mahalda diffeomorfizm bo'lib B¯(0, r) olnadi . Keyin P = ∩ B(0, r)
   

o'lchovli M submanifold bo'ladi.

3. 
   Sp da Gauss egriligini hisoblash. uni K(P) bilan ifodalang.
   

Shunday qilib, m at p ning" egriligi " mydon sifatida talqin qilinishi mumkin K : {2-ulchovli TpM} → R.

Egrilikning geometrik tavsifi: Α burchak p da kesishgan ikki geodezik hisoblanadi. Biz ko'rgazma geodezik xatti uchun quyidagilarni kursatish munkun buladi.

”curvature“ > 0 (e.g. S n) ”curvature“ = 0 (R n) ”curvature“ < 0 (e.g. Hn)

"Doimiy egrilik"ga ega Model fazolar bo'ladi: Rⁿ ,S ⁿ = {x ∈ R n+1 : |x|=1} induksiyalangan metrik va giperbolik fazo Hⁿ bilan ishlaymiz.

1 Hⁿ uchun yuqori yarim kosmik model

{(x₁, . . . , Xn) ∈ R ⁿ : x_n > 0}, gH = x ⁻² _n gE (gE Evklid metrikasi)

2 Hⁿ uchun Poincare model:

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Geodeziklar (yuqoridagi modellarda) 2 o'lchamli holatdagidek. Riemannian metrik, deb aytish g boshqa Riemannian metrik g dan olinadi metrikaning konformal o'zgarishi bo'yicha agar c g = fg bo'lsa, bu yerda f musbat C∞ - funksiya. Keyingi parallel tarjima P0 o'ylab ko'ring, 1 a atrofida (piecewise silliq geodezik) uchburchak buladi.

γ : [0, 1] → M, p = γ(0) = γ(1), M = R ⁿ , S ⁿ , yoki Hⁿ .

Yuqoridagi hodisa m lokal izometrik bo'lsin degan savol bilan bog'liq

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

R ⁿ uchun p da. Haqiqatdan ham, A Riemanniy manifold M lokal izometrik bo'ladi R uchun va faqat P₀, =1 agar p da n ham etarli bulgani uchun id kichik yo’ldan γ, bilan γ (0)=γ(1)=p. Shunday qilib, egrilik mahalliy invariant bo'lib, ma'lum ma'noda affin aloqaning qanchalik uzoqligini o'lchaydi (lokal) Evklid bog'lanishidan bo'ladi.


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Xulosa:

Men bu kurs ishi davomida Brenhart Rimanning avtobiografiyasi uning geometriya fizika va matematikada qilgan ishlari haqida bilib oldim . Riman geometriyasini urganish davomida Rimanova geometriya,Poincaré ning non-Evklid tekisligi modeli, Rimanning geometriyasida to'g'ri chiziqlar ,Riemannian o'lchovlaкш, Cotangent to'plam ,Tensor to'plamlar ,Ulanish Affine ulanishlar ,Egrilik tenzori va Riemanniy egrilik kabi ma’luotlarga ega buldim.

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati

1. Abramova.M, Vilenkin N. Ya, Dorofeevg.B, va boshqalar tanlangan matematika masalalari 10 Cl.: ixtiyoriy kurs./ Ed. Firsovav.

2. Adamar J. elementar geometriya. – Soat 2.: Stereometriya: .

3. Aleksandrov Ad, Verner Al, Ryzhik VI geometriya 10-11 sinf. (matematika chuqur o'rganish bilan maktab va sinf o'quvchilari uchun o'quv qo'llanma). Moskva. Ta'lim. 1991 yil

4. Rosenfeld B. A. neevklid geometriyasi tarixi. Geometrik makon kontseptsiyasini ishlab chiqish. M. Fan., 1976. – 408s.

5. Kiril va Methodi geometriyasi darslari. 11-sinf / Kiril va Methodius virtual maktabi - "yangi Media Jenieryesh" MCHJ»

6. Riemannian geometry1 Va Sahlsten Ilkka Tuomas Holopainen May 3, 2019
R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

yil.